Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Verifique se a integral imprópria abaixo converge ou diverge. Encontre o valor no caso de convergir.

  ∫ 5 10 1 x - 5 2 d x

Passo 1

Vamos lá, começa com o mesmo de qualquer integral imprópria, substitui o limite com indeterminação por outra letra para que possamos, depois, calcular o limite:

∫ 5 10 1 x - 5 2 d x = lim b → 5 + ⁡ ∫ b 10 1 x - 5 2 d x

Calculamos ali b indo pelo lado positivo (coloquei um + ali no limite, caso não tenha reparado) pois o intervalo [ 5,10 ] é superior ao 5 . Vamos usar uma substituição de u = x - 5 , fica facinho assim. Se vamos substituir temos que mudar nos limites de integração, jogando eles no x e descobrindo o u correspondente. O limite de indeterminação continua sendo quando b → 5 + :

lim b → 5 + ⁡ ∫ b - 5 10 - 5 1 u 2 d u = lim b → 5 + ⁡ ∫ b - 5 5 u - 2 d u = lim b → 5 + ⁡ u - 1 - 1 [ 5 b - 5

= lim b → 5 + ⁡ - 1 5 - - 1 b - 5 = lim b → 5 + ⁡ - 1 5 + 1 b - 5

Aquele ( b - 5 ) ali vai cair para 0 . Agora já que se aproxima pela direita ele será positivo. Sendo assim, o termo todo vai para + ∞ !

lim b → 5 + ⁡ - 1 5 + 1 b - 5 = + ∞

Resposta

A   i n t e g r a l   d i v e r g e .

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Investigar as integrais impróprias.
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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x