Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Sefa f : 0 , ∞ → R uma função contínua e limitada. A Transformada de Laplace de f é a função F : 0 , ∞ → R definida por

F s = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t )   d t

  1. Encontre a transformada de Laplace de f t = s e n   ( a t ) .

Passo 1

Falaee, beleza?? Se liga.. a gente sabe que a Transformada de Laplace é dada por:

F s = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t )   d t

Agora, é só fazer f t = s e n   ( a t ) . Vamos lá!!

Passo 2

Substituindo, temos:

F s = ∫ 0 ∞ e - s t ∙ s e n   ( a t )   d t

Agora, vamos integrar por partes. Lembrando que a integral por partes é dada por:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Em que:

u = s e n   a t ∴ d u = a cos ⁡ ( a t ) d t d v = e - s t d t ∴ v = - 1 s e - s t

Passo 3

Assim, temos:

F s = a s ∫ 0 ∞ cos ⁡ ( a t ) ∙ e - s t d t

Fazendo novamente por integral por partes, temos:

u = cos ⁡ ( a t ) ∴ d u = - a sen ⁡ ( a t ) d t d v = e - s t d t ∴ v = - 1 s e - s t

Passo 4

Substituindo, temos:

F s = a s 1 s - a s ∫ 0 ∞   s e n   a t e - s t d t

Porém, sabe-se que ∫ 0 ∞   s e n   a t e - s t d t = F ( s ) .

Logo, temos a seguinte equação:

F s = a s 1 s - a s F ( s ) ∴

F s 1 + a 2 s 2 = a s 2 ∴

F s = a s 2 + a 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

F s = a s 2 + a 2

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