Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Verifique se a integral imprópria é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.

∫ 1 3 3 1 3 x - 1 3 d x

Passo 1

A função 1 3 x - 1 3 é descontínua em x = 1 3 , pois

3 1 3 - 1 3 = 0

Logo, a integral é imprópria em 1 3 . Vamos transformá-la em um limite para resolver esse problema:

lim a → 1 3 ⁡ ∫ a 3 1 3 x - 1 3 d x

Passo 2

A integralm indefinida pode ser resolvida fazendo uma substituição simples.

u = 3 x - 1

d u = 3 d x → d u 3 = d x

1 3 ∫ 1 u 3 d u =

1 3 ∫ u - 1 3 d u =

1 3 . u 2 3 2 3 + C =

1 3 . 3 u 2 3 2 + C

u 2 3 2 + C

Passo 3

Só falta voltar para a variável original.

u 2 3 2 + C = ( 3 x - 1 ) 2 3 2 + C

Passo 4

Portanto,

lim a → 1 3 ⁡ ∫ a 3 1 3 x - 1 3 d x = l i m a → 1 3 3 x - 1 2 3 2 a 3 =

l i m a → 1 3 3 . 3 - 1 2 3 2 - 3 a - 1 2 3 2 =

l i m a → 1 3 9 - 1 2 3 2 - 3 a - 1 2 3 2 =

l i m a → 1 3 8 2 3 2 - 3 a - 1 2 3 2 =

l i m a → 1 3 2 ³ 2 3 2 - 3 a - 1 2 3 2 =

l i m a → 1 3 2 ² 2 - 3 a - 1 2 3 2 =

l i m a → 1 3 2 - 3 a - 1 2 3 2 = 2 - 3 1 3 - 1 2 3 2 = 2 - 1 - 1 2 3 2 = 2 - 0 2 3 2 = 2 - 0 = 2

Portanto, a integral converge para x = 2 .

Resposta

C o n v e r g e   p a r a   2

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