Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

Ver Teoria

Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo

14 .   ∫ sec ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sec ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar fazendo um truque sujo! Multiplicando em cima e embaixo do integrando por ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) , assim temos

∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x sec ⁡ x + tan ⁡ x = ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

Beleza?

Agora chamando u = sec ⁡ x + tan ⁡ x , temos que d u = ( sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x )   d x

Aí nossa integral fica assim

∫ d u u

Beleza?

Agora é só integrar!

= ln ⁡ u + C

show?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = sec ⁡ x + tan ⁡ x

Aí nossa integral

ln ⁡ ( u ) + C = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Investigar as integrais impróprias.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])