Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

e )   ∫ 0 1 / 2       1 x ln 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Precisamos resolver essa integral aqui

∫ 0 1 2     1 x ln 2 ⁡ x d x

Você percebe que no limite inferior temos uma indeterminação no integrando? Quando for assim, precisamos fazer um pequeno truque sujo: trocar o 0 por uma constante, e aplicar por fora da integral o limite quando essa constante tende ao infinito

lim a → 0 ⁡ ∫ a 1 / 2 1 x ln 2 ⁡ x d x

E agora?

Agora calculamos normalmente essa integral, com as técnicas que nós já conhecemos, e aplicamos os limites de integração

a , mas não tem problema! Vamos avaliar o limite quando a → 0

Se o resultado for uma constante, isso significa que a integral converge

Se o resultado for ± ∞ , dizemos que a integral diverge

Beleza?

Mas fica tranquilo porque vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a integral definida que está dentro do limite

lim a → 0 ⁡ ∫ a 1 / 2 1 x ln 2 ⁡ x d x

Essa aqui:

∫ a 1 2 1 x ln 2 ⁡ x d x

Como temos um ln ⁡ x no integrando e também 1 x d x , podemos usar a técnica de substituição simples

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

E os limites? Quando x = 1 / 2 :

u = ln ⁡ 1 2

Já quando x = a :

u = ln ⁡ a

Agora é só substituir e integrar! #partiu

∫ a 1 2 1 x ln 2 ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ a ln ⁡ 1 / 2 1 u 2 d u = - 1 u ln ⁡ a ln ⁡ 1 / 2

∫ a 1 2 1 x ln 2 ⁡ x d x = - 1 ln ⁡ 1 / 2 + 1 ln ⁡ a

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos a integral, vamos avaliar o limite quando a → 0

lim a → 0 ⁡ ∫ a 1 2 1 x ln 2 ⁡ x d x = lim a → 0 ⁡ - 1 ln ⁡ 1 / 2 + 1 ln ⁡ a = - 1 ln ⁡ 1 2 + 1 - ∞ ⏝ = 0 = c o n s t a n t e

Encontramos um resultado constante! Isso significa que nossa integral é convergente

E é isso! Acabamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])