Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

3 – Calcule, com detalhes, a integral imprópria ∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a integral de 6 x 9 - x 2 entre 2 e 3 .

Parece simples? 👀

Para resolver esse problema, vamos aplicar o método de substituição. Esse método vai facilitar nossa vida, pois se chamarmos 9 - x 2 de u , d x será - d u 2 x .

Assim, substituindo 9 - x 2 por u e d x por - d u / 2 x , podemos dizer que

∫ 6 x 9 - x 2 d x = ∫ 6 x u - d u 2 x = ∫ - 3 u d u

Não podemos esquecer dos limites de integração

x f = 3 → u f = 9 - 3 2 = 0 x i = 2 → u i = 9 - 2 2 = 5

Portanto, a integral que temos que calcular é

∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x = ∫ 5 0 - 3 u d u

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Podemos inverter os limites de integração desde que também invertemos o sinal da função, ou seja

∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x = ∫ 0 5 3 u d u

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ 3 u - 1 2 d u = 3 u 1 2 1 2 = 6 u

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 5 3 u d u = 6 5 - 6 0

∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x = ∫ 0 5 3 u d u = 6 5

∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x = 6 5

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 2 3 6 x 9 - x 2 d x = 6 5

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