Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Sefa f : 0 , ∞ → R uma função contínua e limitada. A Transformada de Laplace de f é a função F : 0 , ∞ → R definida por

F s = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t )   d t

  1. Mostre que a integral acima converge para qualquer f nas condições do enunciado e qualquer s > 0 .

Passo 1

Falaee, beleza?? Se liga.. considerando f t < M e a t , sendo M > 0 , temos:

∫ 0 ∞ M e a t ∙ e - s t d t ∴

M ∫ 0 ∞ e ( a - s ) t d t ∴

Passo 2

Para que a integral seja convergente, a - s < 0 ou a < s (em que s > 0 ), certo?

Assim, como a é uma constante arbitrária, vemos que sempre há pelo menos um valor de a que fará a integral convergir.

Dessa forma, a integral ∫ 0 ∞ M e a t ∙ e - s t d t converge e como, por definição, M e a t ∙ e - s t > e - s t f ( t ) , a integral original sempre irá convergir!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A integral converge

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])