Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Utilize o critério da comparação para decidir se cada integral converge ou diverge.

b)

∫ 2 π sin 2 ⁡ x x d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma integral imprópria e nos pede para dizer se ela converge ou diverge através do critério da comparação.

Mas que critério é esse??

Bom... o critério da comparação trata-se de compararmos a função f ( x ) que está sendo integrada com uma função maior ou outra menor.

Mas qual o sentido disso??Exemplo 1: Se compararmos com uma maior e esta for convergente, então automaticamente a função f ( x ) também é convergente.

Exemplo 2: Se compararmos com uma menor e esta for divergente, então automaticamente a função f ( x ) também é divergente.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, seja:

f x = sin 2 ⁡ x x

E

g x = 1 x

Fazendo a integração de g ( x ) , temos:

∫ 0 π 1 x d x = lim a → 0 ⁡ ∫ 0 π 1 x d x

lim a → 0 ⁡ ∫ 0 π 1 x d x = lim a → 0 ⁡ ∫ 0 π x - 1 2 d x ∴

= lim a → ∞ ⁡ 2 x π a ∴

= 2 π

Passo 3

Portanto, por comparação, como 0 < s e n 2 x < 1 , percebe-se que g x > f ( x ) .

Assim, como g x converge, então f x também converge.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

c o n v e r g e

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])