Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

2. Calcule as integrais improprias abaixo, se as mesmas convergirem:

  1. ∫ 0 3 d x x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver

∫ 0 3 d x x - 1

Repara que ela não é uma integral direta, então vamos ter que suar alguma estratégia de integração para resolve-la.

A gente sempre começa tenta fazer por substituição simples! Para isso, nós temos que encontrar uma parte da integral que tenha a relação função e sua derivada.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar, resolvendo a integral de forma indefinida!

Para escolhermos qual substituição fazer, vamos olhar para parte polinimial da função e lembrar que a derivada de um polinominio é:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Ou seja, se temos partes polinomiais que diferem em um grau, a que te tiver o grau maior sera uma candidata a ser chamada de u .

Sendo assim, vamos fazer

u = x - 1

Derivando,

d u = d x

Agora vamos reescrever a nossa integral!

Passo 3

Fazendo a substituição simples, ficamos com

∫ 1 x - 1 d x = ∫ 1 u d u

Agora vamos resolver a integral!

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Mas lembra que u = x - 1 . Então,

∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1

Passo 4

Agora vamos aplicar os nossos limites de integração! Antes de fazer isso, temos que nos atentar, a um detalhe: os limites de integração são 0 e 3 , mas neste intervalo temos um ponto onde a nossa função não é definida. Repara que a função não existe em x = 1 .

Sendo assim, para calcular o nosso limite teremos que fazer,

∫ 0 3 d x x - 1 = ∫ 0 1 d x x - 1 + ∫ 1 3 d x x - 1

Como já calculamos a nossa integral não é definida em x = 1 , teremos

∫ 0 3 d x x - 1 = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t d x x - 1 + lim t → 1 + ⁡ ∫ t 3 d x x - 1

Isso será

∫ 0 3 d x x - 1 = lim t → 1 - ⁡ ( ln ⁡ t - 1 - 0 ) + lim t → 1 - ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ ( t - 1 )

Agora vamos resolver os limites!

Passo 5

Para o primeiro limite teremos,

lim t → 1 - ⁡ ( ln ⁡ t - 1 ) = - ∞

Já o limite,

lim t → 1 - ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ ( t - 1 ) = - ∞

Passo 6

Voltando para a nossa integral ficamos com

∫ 0 3 d x x - 1 = - ∞

Ou seja, nossa integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])