Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 12 use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.

9)

∫ 0 1 x 1 - x 2 d x

Passo 1

Antes de começarmos qualquer conta, repare que a integral é imprópria, porque se substituirmos o 1 na função...

1 1 - 1 2 = 1 0

O que sabemos que não pode acontecer, ou seja, a função não é contínua nesse ponto. Mas qualquer outro ponto do interior de [ 0 ,   1 ) ela é contínua.

Sendo assim, como a integral não é complicada, podemos calcula-la e normalmente e depois verificar o que acontece nos extremos, saca? Então vem comigo ;)

Passo 2

Vamos substituir o ponto problemático (o número 1 ) por um b e falar que b tende a 1 ...

∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = lim b → 1 ⁡ ∫ 0 b x 1 - x 2 d x

A gente só faz esse limite pra não trabalhar com o ponto problemático de cara, saca?

Mas antes, calculemos a indefinida só pra saber quem ela é mesmo!

Passo 3

Calculando essa integral por uma substituição simples...

∫ x 1 - x 2 d x

1 - x 2 = a       →             d a = - 2 x d x         o u               x d x = - d a 2

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ 1 a - d a 2 =

- 1 2 ∫ a - 1 2   d a = - 1 2 a 1 2 1 2 + C =

- a + C

Como vamos fazer uma integral definida, podemos tomar C como 0 e, além disso, voltando para a variável original...

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2

Passo 4

Voltando para o limite, agora que sabemos a cara da integral indefinida...

∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = lim b → 1 ⁡ ∫ 0 b x 1 - x 2 d x =

lim b → 1 ⁡ - 1 - x 2 0 b =

lim b → 1 ⁡ - 1 - b 2 - - 1 =

lim b → 1 ⁡ - 1 - 1 2 + 1 = 1

Resposta

Integral converge

1

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