Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 2 4 1 - x 3 d x

Passo 1

Primeira coisa a se observar nessa questão é que trata-se de uma integral IMPRÓPRIA!! Pois repare que o domínio da expressão a ser integrada NÃO contém x = 1 , que pertence ao intervalo de integração [0;2]. Então temos que separar em duas integrais!!

∫ 0 2 4 1 - x 3 d x = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t 4 1 - x 3 d x + lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 4 1 - x 3 d x

Passo 2

Agora calculando a integral indefinida:

∫ 4 1 - x 3 d x

Com a substituição u = 1 - x , então d u = - d x , e substituindo na integral:

∫ - 4 u 3 d u

Vamos encontrar:

- 4 u - 2 - 2 + C = 2 u - 2 + C = 2 1 - x 2 + C

Passo 3

Então voltando à integral imprópria:

∫ 0 2 4 1 - x 3 d x = lim t → 1 - ⁡ 2 1 - t 2 - 2 1 - 0 2 + lim t → 1 + ⁡ 2 1 - 2 2 - 2 1 - t 2

Só que a integral inicial diverge, pois:

lim t → 1 - ⁡ 2 1 - t 2 - 2 1 - 0 2 = ∞ - 2

Resposta

A integral inicial diverge.

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