Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Determine para quais os valore de p > 0 cada integral converge, e nesse caso, calcule a integral.

  1. ∫ 0 1 d x x p

Passo 1

Pessoal, primeiramente precisamos analisar essa função. Se você analisar direitinho, temos que o o problema dessa função é quando ela se aproxima do 0. Ou seja, quando ela se aproximar do 0 a função explode para o infinito.

Então o foco dessa questão é remover essa indeterminação

Ao analisar, quanto mais observamos vemos que se o x se aproxima de 0 . Temos que o valor da f ( x ) se aproxima cada vez mais de . Então, analisar essa integral é descobrir primeiramente se a função existe lá no infinito.

Para que isso tudo é útil? Olha só temos o probleminha quando o x se aproxima do 0 né?

Sendo assim, temos que isso se enquadra em um problema de integral imprópria. Mas antes de tudo vamos bater um papo sobre esse tipo de integral?

Complicado né, bem amiguinho o conceito de integral imprópria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos, mas ela pode ser analisada com pontos em proximidades a indeterminações.

isso aí, o conceito de integral imprópria é uma espécie de soma chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:

∫ 0 ∞ f x d x

Você está somando pedacinhos da primitiva dá f ( x ) de 0 até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...

Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A f x d x

Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.

Só que na nossa questão o infinito não aparece né?

E a indeterminação está no 0 então vamos calcular o limite da seguinte forma:

lim A → 0 ⁡ ∫ A 1 f x d x

Passo 2

Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:

∫ 0 1 d x x p

E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:

lim A → 0 ⁡ ∫ A 1 d x x p

Utilizamos isso porque quando x vai para o 0 nos percebemos que a função vai para a infinito, então a indeterminação é o 0 .

Agora precisamos lembrar da seguinte propriedade:

f x = 1 x p = x - p

Logo temos que:

lim A → 0 ⁡ ∫ A 1 d x x p = lim A → 0 ⁡ ∫ A 1 x - p d x = lim A → 0 ⁡ x 1 - p 1 - p     1 A = lim A → 0 ⁡   1 1 - p ( 1 1 - p - A 1 - p ) = 1 1 - p

Logo para a integral ser convergente temos que:

p ≠ 1

Só que a questão restringe o valor de p > 0 sendo assim:

p > 0   &   p   ≠   1

Resposta

lim A   →   0 + ⁡ ∫ A 1 1 x p d x ≤ 0

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])