Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Verifique se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes.

∫ - 1 1 e x e x - 1 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma integral e temos que verificar se essa integral converge ou diverge.

∫ - 1 1 e x e x - 1 d x

Mas como assim? Converge ou diverge?? 🤔

Perceba que a função de integração possui uma descontinuidade em x = 0 , já que nesse ponto o denominador da função vai a 0 .

Nesses casos, vamos aplicar a ideia de integrais improprias calculando a integral em duas integrais separadas pelo ponto de descontinuidade no intervalo de integração.

Se a soma das integrais resultar em uma constante, significa que a integral converge, caso o contrário, não diverge.

Entendeu? Bora começar os cálculos! 😉

Passo 2

Inicialmente, nosso intervalo dos limites de integração vai de 1 , - 1 . Mas como em x = 0 , a função é descontinua, temos que separar esse intervalo em dois [ 1,0 [ e ] 0 , - 1 ] .

Perceba que 0 não pode ser incluso nos limites de integração, então vamos obter os valores que a função assume quando x tende a esse valor, ou seja

∫ - 1 1 e x e x - 1 d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 e x e x - 1 d x + lim r → 0 - ⁡ ∫ - 1 r e x e x - 1 d x

Entendeu o que fizemos?

Vamos começar calculando a integral sem os limites de integração

∫ e x e x - 1 d x

Vamos usar o método de substituição fazendo u = e x - 1 e consequentemente d u d x = e x → d u = e x d x

Fazendo as substituições

∫ 1 u d u

Essa integral é bastante conhecida, não é? Ela resulta em l n

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Substituindo u por e x - 1 de volta...

∫ e x e x - 1 d x = ln ⁡ e x - 1 + C

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Resolvendo a primeira integral, aplicando os limites de integração, temos

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 e x e x - 1 d x = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e 1 - 1 - ln ⁡ e t - 1

Como o limite da soma é igual à soma dos limites...

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e 1 - 1 - ln ⁡ e t - 1 = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e 1 - 1 - lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e t - 1

O primeiro limite é uma constante, logo se o limite de uma constante é igual a constante...

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e 1 - 1 - ln ⁡ e t - 1 = ln ⁡ e 1 - 1 - lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e t - 1

Quando t tende a 0 pela direita, ln ⁡ e t - 1 tende a ln ⁡ 0 com valores positivos dentro do l n . Lembra do gráfico de ln ⁡ x ?

Para valores muito pequenos de x , a imagem tente a - ∞ , veja só

Então podemos afirmar que lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ e t - 1 = - ∞

Então a integral dessa parcela do intervalo resulta em

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 e x e x - 1 d x = ln ⁡ e 1 - 1 - - ∞

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 e x e x - 1 d x = ln ⁡ e 1 - 1 + ∞

Perceba que já temos uma divergência nessa parte da integral pois temos como resultado .

Quando isso acontece, podemos afirmar que a integral diverge sem nem precisar calcular a outra parte.

∫ - 1 1 e x e x - 1 d x = D i v e r g e

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ - 1 1 e x e x - 1 d x = D i v e r g e

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