Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo

11 .   ∫ x 1 + x 4 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 1 + x 4 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos reescrever esse denominador para ficar uma soma de quadrados:

1 + x 4 = 1 + x 2 2

Vamos começar chamando u = x 2 , assim d u = 2 x d x

Aí nossa integral fica assim

∫ x 1 + x 4 d x = 1 2 ∫ d u 1 + u 2

Beleza?

Agora sim vamos usar substituição trigonométrica! Chamando u = tan ⁡ v ,   d u = sec 2 ⁡ v d v nosso integrando fica

1 2 ∫ sec 2 ⁡ v d v   sec 2 ⁡ v = 1 2 ∫ d v

Agora é só integrar!

= 1 2 v + C = 1 2 arctan ⁡ u + C

tranquilo?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = x 2

Aí nossa integral

1 2 arctan ⁡ u + C = 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 arctan ⁡ x 2 + C

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