Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

  1. Calcule a integral

∫ - 1 3 7 3 - x d x

Passo 1

Note, para começo de conversa, que se a a função que estamos integrando apenas não funciona no ponto 3 . Mas mesmo assim, estamos integrando até 3 , ou seja...

Estamos lidando com uma integral imprópria.

Para a gente resolver este tipo de integral, vamos calcular a integral indefinida primeiro

∫ 7 3 - x d x

mas sem colocar a constante. Depois aplicamos o limite do x indo para 3 , beleza?

Passo 2

Podemos resolver a integral indefinida acima fazendo uma substituição simples, ou seja

3 - x = a

Então

d a = - d x           o u           d x = - d a

Substituindo tudo...

∫ 7 3 - x d x = ∫ 7 a - d a

Jogando essa constante para fora e calculando a integral sem colocar a constante...

- 7 ∫ 1 a d a =

- 7 ln ⁡ a

Voltando com a variável original...

∫ 7 3 - x d x = - 7 ln ⁡ 3 - x

Passo 3

Bem, se a integral não fosse imprópria, bastava substituir os limite e pronto. Mas... como isso não acontece aqui, vamos fazer o seguinte:

No lugar do 3 na integral

∫ - 1 3 7 3 - x d x

Que é o nosso ponto problemático, vamos colocar um t qualquer

∫ - 1 t 7 3 - x d x

Agora a gente pega o resultado da integral, indefinida e substitui esses limites

∫ - 1 t 7 3 - x d x =   - 7 ln ⁡ 3 - x - 1 t

Substituindo os limites de integração...

∫ - 1 t 7 3 - x d x = - 7 ln ⁡ 3 - t - - 7 ln ⁡ 3 - - 1

Dando uma arrumada na casa

∫ - 1 t 7 3 - x d x = 7 ln ⁡ 4 - 7 ln ⁡ 3 - t

Colocando em evidência esse 7

∫ - 1 t 7 3 - x d x = 7 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 - t

Se você se recordar da propriedade de subtração de logaritmos, podemos simplificar isso aí em uma divisão...

∫ - 1 t 7 3 - x d x = 7 ln ⁡ 4 3 - t

Passo 4

A próxima coisa que a gente tem que fazer aqui agora é substituir o t por 3 , como não podemos fazer isso, a gente vai aplicar um limite

lim t → 3 + ⁡ 7 ln ⁡ 4 3 - t ⁡

Observe que estamos nos aproximando de 3 pelo lado positivo, porque estamos saindo de - 1 até 3 .

7 lim t → 3 + ⁡ ln ⁡ 4 3 - t

Como o termo 4 3 - t vai para infinito positivo quando nos aproximamos de 3 pela direita, o ln ⁡   também explode para o infinito, logo

7 lim t → 3 + ⁡ ln ⁡ 4 3 - t = + ∞

a integral diverge!

Resposta

A   i n t e g r a l   d i v e r g e

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