Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 533 ex 37

Diga se a integral converge ou diverge

- 1 1 e x e x - 1 d x

Passo 1

Novamente, temos que ficar atentos: não pode passar batido o fato de que aquele denominador ali não pode ser igual a 1 . Se calcularmos o limite daquela função quando x 0 :

lim x 0 e x e x - 1 = e 0 e 0 - 1 = 1 0 =

Portanto, esse é um daqueles casos de integral imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no intervalo de integração dado. Repara que, nesse caso, a descontinuidade está em x = 0 , que faz parte do intervalo de integração [ - 1,1 ] .

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Passo 2

Como a descontinuidade infinita está no meio do intervalo de integração, esse é aquele caso em que tenho que dividir o intervalo de integração em dois, um que vai do limite inferior até o ponto de descontinuidade e outro que vai desse ponto de descontinuidade até o limite superior:

- 1 1 e x e x - 1 d x = - 1 0 e x e x - 1 d x + 0 1 e x e x - 1 d x

Aí lembra que eu não vou substituir direto x = 0 . N verdade, quero o limite quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, beleza? Por isso que eu vou escrever isso aqui:

= lim t 0 - - 1 t e x e x - 1 d x + l i m r 0 + r 1 e x e x - 1 d x

Passo 3

Tá tranquilo e favorável até aí?

Então agora vamos achar a primitiva e depois substituir os limites, pode ser?

e x e x - 1 d x

Nesse caso, essa integral sai por substituição simples:

u = e x - 1   d u = e x   d x  

Substituindo na expressão, vamos ter:

d u u = ln u + C

Voltando para x :

e x e x - 1 d x = ln e x - 1 + C  

Passo 4

Passo 5

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:

- 1 t e x e x - 1 d x =   ln e t - 1 - ln e - 1 - 1

r 1 e x e x - 1 d x = ln e 1 - 1 - ln e r - 1

Calculando os limites:

lim t 0 - - 1 t e x e x - 1 d x = l i m t 0 -   ln e t - 1 -   ln e - 1 - 1

Gente, só existe logaritmo de número positivo, certo? Ou seja, se eu me aproximasse do 0 pelo lado esquerdo daria ruim. Nem existe como isso ser feito. Por aí, já dá para ver que a integral vai divergir. Mas se quisermos calcular o outro limite:

l i m r 0 + r 1 e x e x - 1 d x = l i m r 0 + [ ln e 1 - 1 -   ln e r - 1 ]

= [ ln e 1 - 1 -   ln e 0 - 1 ]

= ln  e - 1 -  ln 0 = -

Essa integral diverge, isto é, seu limite não é um número finito.

Resposta

A integral diverge.

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