Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 12 use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.

11)

∫ - 1 1 1 x 4 d x

Passo 1

Antes de começarmos qualquer conta, repare que a integral é imprópria, porque se substituirmos o 0 (ponto do interior do intervalo pedido) na função...

1 x 4 = 1 0

Esse é único ponto de descontinuidade também, então para calcular essa integral indefinida, precisamos dividi-la em outras duas...

∫ - 1 1 1 x 4 d x = ∫ - 1 0 1 x 4 d x + ∫ 0 1 1 x 4 d x

Passo 2

O ponto problemático é o 0 , então para não lidarmos diretamente com ele, trocamos por b e aplicamos limites (como se o b tivesse ficando cada vez mais próximo de 0 ).

∫ - 1 1 1 x 4 d x = lim b → 0 - ⁡ ∫ - 1 b 1 x 4 d x + lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 4 d x

(Observe que a primeira integral terá que ser uma tendência pela esquerda ( b → 0 - ) enquanto que a segunda integral, pela direita ( b → 0 + ))

Sendo assim, como a integral não é complicada, podemos calcula-la e depois voltarmos para o limite e vermos o que acontece, saca?

Passo 3

Calculemos a indefinida só pra saber quem ela é mesmo!

∫ 1 x 4 d x

Calculando essa integral...

∫ 1 x 4 d x = x - 3 - 3 + C =

- 1 3 x 3 + C

Como vamos fazer uma integral definida, podemos tomar C como 0 ...

∫ 1 x 4 d x = - 1 3 x 3

Passo 4

Substituindo a integral já calculada, mas não se esquecendo dos limites (pois queremos o resultado da integral definida)...

∫ - 1 1 1 x 4 d x =

lim b → 0 - ⁡ ∫ - 1 b 1 x 4 d x + lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 4 d x =

lim b → 0 - ⁡ - 1 3 x 3 - 1 b + lim b → 0 + ⁡ - 1 3 x 3 b 1 =

Substituindo os limites de integração...

lim b → 0 - ⁡ - 1 3 b 3 - - 1 3 + lim b → 0 + ⁡ - 1 3 - - 1 3 b 3 =

lim b → 0 - ⁡ - 1 3 b 3 + 1 3 + lim b → 0 + ⁡ - 1 3 + 1 3 b 3 =

- 1 3 lim b → 0 - ⁡ 1 b 3 + 1 3 lim b → 0 + ⁡ 1 b 3 =

O primeiro limite, como b fica próximo de 0 a esquerda, b 3 é um número pequeno, mas negativo, logo...

- 1 3 - ∞ + 1 3 lim b → 0 + ⁡ 1 b 3 =

O segundo limite, tende pela direita, então é um número pequeno, mas positivo...

- 1 3 - ∞ + 1 3 + ∞ = + ∞

Como o limite está tendendo a + ∞ ... A integral diverge, saca?

Resposta

Integral diverge.

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Investigar as integrais impróprias.
Calcule ∫ 0 1 1 xd x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x