Calcule os limites abaixo, se existirem

g )   lim x → 4 ⁡ 3 - 5 + x 1 - 5 - x

Passo 1

E ai, tudo bem? Vamos resolver essa?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 4 ⁡ 3 - 5 + x 1 - 5 - x

Substituindo x = 4 na função dentro do limite temos:

3 - 5 + 4 1 - 5 - 4 = 3 - 3 1 - 1 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

E aqui começa a chuva de truque sujo!

Quando tiver “raiz de x menos uma coisa” no denominador (ou no numerador, tanto faz) você vai lembrar de multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Saca só:

1 x + a + b × x + a - b x + a - b

Pode parecer que não ficou mais simples, mas fica sim! A raiz vai sumir do denominador/numerador e vai levantar essa indeterminação pra vc! Confia!

Isso é pq a gente usa a seguinte propriedade dos produtos notáveis: a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Sempre a gente pode usar isso ta? Anota aí pra você usar depois!

Passo 3

No nosso caso:

lim x → 4 ⁡ 3 - 5 + x 1 - 5 - x

Vamos multiplicar e dividir a função ali dentro do limite por 3 + 5 + x

3 - 5 + x 1 - 5 - x × 3 + 5 + x 3 + 5 + x = 3 2 - 5 + x 2 1 - 5 - x . ( 3 + 5 + x )

Agora vamos arrumar o numerador e simplificar o que der:

3 2 - 5 + x 2 1 - 5 - x . ( 3 + 5 + x ) = 9 - 5 - x 1 - 5 - x . ( 3 + 5 + x ) = 4 - x 1 - 5 - x . ( 3 + 5 + x )

Tá, e agora vou fazer de novo essa “racionalização”, mas agora com o termo que a gente deixou quietinho: 1 - 5 - x . A gente vai multiplicar e dividir por 1 + 5 - x :

4 - x 1 - 5 - x . ( 3 + 5 + x ) × 1 + 5 - x 1 + 5 - x = 4 - x . ( 1 + 5 - x ) 1 - 5 - x ( 1 + 5 - x ) . ( 3 + 5 + x )

1 - 5 - x ( 1 + 5 - x ) vira:

1 1 - 5 - x 2 = 1 - 5 + x = - 4 + x = - ( 4 - x )

Aí nossa função fica assim:

4 - x . ( 1 + 5 - x ) 1 - 5 - x ( 1 + 5 - x ) . ( 3 + 5 + x ) = 4 - x . ( 1 + 5 - x ) - ( 4 - x ) . ( 3 + 5 + x ) = - ( 1 + 5 - x ) ( 3 + 5 + x )

Beleza?

e aí a gente substitui lá no limite e simplifica o que dá:

lim x → 4 ⁡ 3 - 5 + x 1 - 5 - x

= lim x → 4 ⁡ - ( 1 + 5 - x ) ( 3 + 5 + x )

Daí fica:

- 1 + 5 - 4 3 + 5 + 4 = - 1 + 1 3 + 3 = - 2 6 = - 1 3

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Até a próxima!

Resposta

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