Calcule os limites abaixo, se existirem

h )   lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Passo 1

E ai, tudo bem? Vamos resolver essa?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Substituindo x = 2 na função dentro do limite temos:

2 2 + 2 . x - 10 3 . 2 2 - 2 . x - 2 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

Precisamos fatorar esses polinômios!

Relembrar é viver...

a x 2 + b x + c = a ( x - x ' ) ( x - x ' ' )

Então basta a gente achar as raízes desses dois polinômios e colocar ali na fatoração|!

Passo 3

A função é:

x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Achando as raízes do numerador temos:

x 2 + 3 x - 10 = 0

x ' = 2   e   x ' ' = - 5

Então a forma fatorada dele é: ( x - 2 ) ( x + 5 ) .

Agora o denominador:

3 x 2 - 5 x - 2 = 0

x ' = 2   e   x ' ' = - 1 / 3

E a forma fatorada é:

3 ( x - 2 ) ( x + 1 / 3 )

Aí nossa função fica

x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2 = x - 2 x + 5 3 ( x - 2 ) ( x + 1 / 3 ) = x + 5 3 x + 1

Beleza?

Passo 4

Agora vamos voltar pro nosso limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2 = lim x → 2 ⁡ x + 5 3 x + 1

Beleza?

e aí a gente substitui x = 2 no limite e simplifica o que dá:

lim x → 2 ⁡ x + 5 3 x + 1 = 2 + 5 3 . 2 + 1 = 7 7 = 1

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Até a próxima!

Resposta

1

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