Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 3, Questão 4

Se f x > 0 para todo x 2 e f ( 2 ) = - 3 , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contraexemplo.

(a) lim x 2 f ( x )   não existe

(b) lim x 2 f ( x ) =   - 3

(c) Se existir, lim x 2 f ( x ) é positivo

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmativa: lim x 2 f ( x )   não existe

Com os dados descritos no enunciado, não podemos dizer que essa afirmativa é verdadeira, pois o limite pode sim existir. O jeito mais fácil de provar isso é usar como contraexemplo uma função definida por partes que seja sempre positiva quando x 2 e igual a - 3 quando x = 2 . Essa função pode ser

f x = x - 2   s e   x 2 - 3               s e   x = 2

Observe que

lim x 2 f ( x ) = 0

Portanto ele existe e, por isso, a afirmativa (a) é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A afirmativa (b) diz que lim x 2 f ( x ) =   - 3 . A função usada no item anterior invalida essa afirmativa, pois

lim x 2 f ( x ) = 0

Então, como essa função atende às condições do enunciado e possui o limite com x tendendo a 2 diferente de - 3 , isso é suficiente para dizer que a afirmativa (b) nem sempre é verdadeira, logo é falsa.

Passo 3

A função

f x = x - 2   s e   x 2 - 3               s e   x = 2

também serve como contraexemplo para a afirmativa (c), pois, nesse caso

lim x 2 f ( x ) = 0

Isso mostra que não necessariamente lim x 2 f x é positivo, portanto a afirmativa (c) é falsa.

Resposta

  1. Falsa
  2. Falsa
  3. Falsa

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