Enunciado

Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(a)

A = 3 1 5 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:

A = 3 1 5 2

Bom, nós temos uma matriz 2 × 2 , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:

Uma matriz 2 × 2 , da forma

A = a b c d

É invertível se, e só se, a d - b c ≠ 0 , caso em que a inversa é dada pela fórmula:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Legal, então no caso da matriz 2 × 2 nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!

Passo 2

A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:

a d - b c ≠ 0

Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

No nosso caso, temos:

A = 3 1 5 2

E o determinante de A é:

det ⁡ A = 3 ∙ 2 - 5 ∙ 1

det ⁡ A = 1

Como o determinante é diferente de 0 , det ⁡ A ≠ 0 , podemos dizer que nossa matriz é invertível.

Passo 3

Agora vamos calcular sua inversa.

Usando a fórmula do nosso teorema:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Temos, para a matriz

A = a b c d = 3 1 5 2

Sua inversa:

A - 1 = 1 3 ∙ 2 - 1 ∙ 5 2 - 1 - 5 3

Calculando,

A - 1 = 1 6 - 5 2 - 1 - 5 3

A - 1 = 1 ∙ 2 - 1 - 5 3

Multiplicando a matriz pela constante 1 , temos:

A - 1 = 2 - 1 - 5 3

E encontramos a inversa. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A - 1 = 2 - 1 - 5 3

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