28) Encontre a inversa das matrizes:

A = 1 4 2 7

Passo 1

Faala, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, eu sei… 

Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha: 

Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.

O enunciado nos deu uma matriz 2 × 2 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso? O que é uma matriz inversa?

Uma matriz inversa é uma matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas e colunas. Tá, mas o que eu devo fazer pra encontrar a matriz inversa?

Antes de tudo, devemos lembrar que a matriz inversa ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Então, para encontrarmos a inversa, vamos descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha resultado uma matriz identidade.

Além disso, vamos dizer que a matriz B é a inversa de A e é representada por A - 1 !

E vale lembrar de mais uma coisinha também: só teremos uma matriz inversa quando o determinante for diferente de zero, ok?

Falando assim parece meio estranho, né? Mas bora lá resolver isso que você vai ver como é tranquilinho!

Passo 2

Vamos montar aquilo que falamos ali em cima agora!

Mas antes, vamos ver se o determinante da matriz é diferente de zero, para que possamos ter uma matriz inversa!

A = 1 4 2 7 →   det ⁡ A = 1 . 7 - 4.2 = - 1

Uhul! Temos um determinante diferente de 0 , então temos uma inversa a ser encontrada aqui!

Agora, vamos lembrar também que a matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e o restante dos elementos é 0 !

Então, para encontrarmos a inversa de acordo com aquilo que foi descrito ali no passo 1, vamos ter que:

A   . A - 1 = I

1 4 2 7   .   a b c d = 1 0 0 1

Pronto, agora basta multiplicarmos as duas matrizes seguindo o resultado (que é a matriz identidade), para encontrarmos os valores de a ,   b ,   c e d , e, portanto, a matriz inversa!

Passo 3

Fazendo a multiplicação entre as matrizes, vamos ter o seguinte:

1 . a + 4 . c 1 . b + 4 . d 2 . a + 7 . c 2 . b + 7 . d = 1 0 0 1

Resolvendo a igualdade acima, temos que:

a + 4 c = 1       ( I )

b + 4 d = 0   → b = - 4 d       I I

2 a + 7 c = 0   → a = - 7 c 2     I I I

2 b + 7 d = 1     ( I V )

Substituindo I I em I V :

2 - 4 d + 7 d = 1     →   - d = 1   → d = - 1   ( V )

Substituindo V em I I :

b = - 4 - 1 = 4       V I

Substituindo I I I em I :

- 7 c 2 + 4 c = 1     →   c 2 = 1     →     c = 2       ( V I I )

Substituindo V I I em I I I :

a = - 7.2 2 = - 7

Agora que encontramos todos os valores para a ,   b ,   c e d , vamos ter que a matriz inversa se dá por:

A - 1 = - 7 4 2 - 1

Bem mais fácil do que vocês imaginaram! Fala aí!

Bora resolver o próximo exercício então?

Resposta

A - 1 = - 7 4 2 - 1

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