Suponha que as operações matriciais indicadas estão definidas.

(a) Vale a relação A - B A - 1 ( A + B ) = A + B A - 1 ( A - B ) ?

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver esta questão, vamos verificar a igualdade da equação A - B A - 1 ( A + B ) = A + B A - 1 ( A - B ) , para facilitar a visualização dos cálculos vamos calcular um lado de cada vez e vamos também estipular os valores das matrizes A e B e ver se a igualdade é satisfeita.

Se essa igualdade é satisfeita podemos usar quaisquer matrizes para provar, neste caso vamos usar duas matrizes aleatórias onde

A = 5 8 7 1 ,   B = 2 3 8 4

Vemos também que vamos precisar da matriz inversa de A para calcular a igualdade

A inversa de uma matriz, 2 x 2 pode ser calculada facilmente trocando a posição dos valores da sua diagonal principal, trocando o sinal dos valores da sua diagonal secundária e dividindo a matriz pelo seu determinante.

Vamos escrever de outra forma para ficar mais claro!

A = 5 8 7 1 → A - 1 = 1 - 8 - 7 5 Det ⁡ A

Agora está mais claro, né?

Vamos calcular D e t A

D e t A = 5 · 1 - 8 · 7

D e t A = - 51

Concluindo o cálculo da matriz inversa de A , temos

A - 1 = 1 - 8 - 7 5 - 51 → A - 1 = - 1 51 8 51 7 51 - 5 51

Passo 2

Pronto, agora que sabemos o valor de A - 1 , podemos verificar a igualdade.

A - B A - 1 ( A + B ) = A + B A - 1 ( A - B )

Vamos resolver um lado de cada vez para facilitar a visualização das operações.

Lado esquerdo:

A - B A - 1 ( A + B )

5 8 7 1 - 2 3 8 4 - 1 51 8 51 7 51 - 5 51 5 8 7 1 + 2 3 8 4

3 5 - 1 - 3 - 1 51 8 51 7 51 - 5 51 7 11 15 5

Neste caso, a ordem das operações é da esquerda para a direita

3 · - 1 51 + 5 · 7 51 3 · 8 51 + 5 · - 5 51 - 1 · - 1 51 + - 3 · 7 51 - 1 · 8 51 + - 3 · - 5 51 7 11 15 5

32 51 - 1 51 - 20 51 7 51 7 11 15 5

Encontramos a matriz resultante de A - B A - 1 , agora vamos multiplicar por ( A + B )

32 51 · 7 + - 1 51 · 15 32 51 · 11 + - 1 51 · 5 - 20 51 · 7 + 7 51 · 15 - 20 51 · 11 + 7 51 · 5

A - B A - 1 A + B = 209 51 347 51 - 35 51 - 185 51

Encontramos um lado da igualdade da equação, agora vamos em busca do outro lado.

Passo 3

Calculando o lado esquerdo, temos:

A + B A - 1 ( A - B )

5 8 7 1 + 2 3 8 4 - 1 51 8 51 7 51 - 5 51 5 8 7 1 - 2 3 8 4

7 11 15 5 - 1 51 8 51 7 51 - 5 51 3 5 - 1 - 3

7 · - 1 51 + 11 · 7 51 7 · 8 51 + 11 · - 5 51 15 · - 1 51 + 5 · 7 51 15 · 8 51 + 5 · - 5 51 3 5 - 1 - 3

Encontramos a matriz resultante de A + B A - 1 , agora vamos multiplicar por ( A - B )

70 51 1 51 20 51 95 51 3 5 - 1 - 3

70 51 · 3 + 1 51 · - 1 70 51 · 5 + 1 51 · - 3 20 51 · 3 + 95 51 · - 1 20 51 · 5 + 95 51 · - 3

A + B A - 1 A - B = 209 51 347 51 - 35 51 - 185 51

Encontramos os resultados dos dois lados da equação, agora comparando-os em sua forma calculada, temos

209 51 347 51 - 35 51 - 185 51 = 209 51 347 51 - 35 51 - 185 51

A igualdade é satisfeita, ou seja, a relação A - B A - 1 ( A + B ) = A + B A - 1 ( A - B ) vale.

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A relação é válida.

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