Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(b) x 1 + 3 x 2 + x 3 = 4 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente resolver o sistema dado usando a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se A for uma matriz invertível n × n , então para cada matriz b de tamanho n × 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber x = A - 1 b ”.

Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:

1 3 1 2 2 1 2 3 1 x 1 x 2 x 3 = 4 - 1 3

Repare que o nosso sistema tem a forma A x = b e queremos chegar na forma x = A - 1 b para encontrar a inversa e o valor das nossas variáveis.

Passo 2

Então, eu posso multiplicar 1 3 1 2 2 1 2 3 1 - 1 dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:

1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 3 1 2 2 1 2 3 1 - 1 4 - 1 3

Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:

A A - 1 = I n

Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando 1 por algum número real), então temos:

x 1 x 2 x 3 = 1 3 1 2 2 1 2 3 1 - 1 4 - 1 3

E aí chegamos no formato que nós queríamos, x = A - 1 b . Só falta definir quem é A - 1 .

Passo 3

Agora, lembra do algoritmo da inversão? É aquele em que nós juntamos a matriz identidade à direita de A , na forma A   |   I , para realizar operações com linhas e produzir A - 1 , na forma I   |   A - 1 ; onde I é a matriz identidade.

Vamos escrever a matriz na forma A   |   I :

A   |   I = 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos multiplicar a linha 1 por - 2 e somar com a linha 2 :

1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 3 1 0 - 4 - 1 2 3 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Agora vamos multiplicar a linha 1 por - 2 e somar com a linha 3 :

1 3 1 0 - 4 - 1 2 3 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 → L 3 → L 3 - 2 L 1 1 3 1 0 - 4 - 1 0 - 3 - 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1

Subtraindo a linha 3 da linha 2 , temos:

1 3 1 0 - 4 - 1 0 - 3 - 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1 → L 2 → L 2 - L 3 1 3 1 0 - 1 0 0 - 3 - 1 1 0 0 0 1 - 1 - 2 0 1

Agora vamos multiplicar a linha 2 por - 3 e somar na linha 3 :

1 3 1 0 - 1 0 0 - 3 - 1 1 0 0 0 1 - 1 - 2 0 1 → L 3 → L 3 - 3 L 2 1 3 1 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 - 1 - 2 - 3 4

E multiplicar a linha 2 por 3 e somar com a linha 1 :

1 3 1 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 - 1 - 2 - 3 4 → L 1 → L 1 + 3 L 2 1 0 1 0 - 1 0 0 0 - 1 1 3 - 3 0 1 - 1 - 2 - 3 4

Agora, somando a linha 1 com a linha 3 , temos:

1 0 1 0 - 1 0 0 0 - 1 1 3 - 3 0 1 - 1 - 2 - 3 4 → L 1 → L 1 + L 3 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 - 1 0 1 0 1 - 1 - 2 - 3 4

Por fim, vamos multiplicar a linha 2 e a linha 3 por - 1 :

1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 - 1 0 1 0 1 - 1 - 2 - 3 4 L 2 → - 1 L 2 L 3 → ( - 1 ) L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 1 0 - 1 1 2 3 - 4

Chegamos no formato I   |   A - 1 , então nossa inversa é:

A - 1 = - 1 0 1 0 - 1 1 2 3 - 4

Passo 4

Agora que encontramos nossa inversa, podemos finalmente resolver a equação matricial que vimos lá no passo 2 :

x 1 x 2 x 3 = 1 3 1 2 2 1 2 3 1 - 1 4 - 1 3

Substituindo a inversa:

x 1 x 2 x 3 = - 1 0 1 0 - 1 1 2 3 - 4 4 - 1 3

Realizando a multiplicação das matrizes, temos:

x 1 = - 4 - 0 + 3 = - 1

x 2 = 0 + 1 + 3 = 4

x 3 = 8 - 3 - 12 = - 7

Então, resolvemos nosso sistema, com x 1 = - 1 , x 2 = 4 e x 3 = - 7 .

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x 1 = - 1

x 2 = 4

x 3 = - 7

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