Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(d) x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = b 1 2 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = b 2 3 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 = b 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se A for uma matriz invertível n × n , então para cada matriz b de tamanho n × 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber x = A - 1 b ”.

Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:

1 2 3 2 5 5 3 5 8 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

Repare que o nosso sistema tem a forma A x = b e queremos chegar na forma x = A - 1 b para encontrar a inversa e o valor das nossas variáveis.

Passo 2

Então, eu posso multiplicar 1 2 3 2 5 5 3 5 8 - 1 dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:

1 2 3 2 5 5 3 5 8 1 2 3 2 5 5 3 5 8 - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 2 3 2 5 5 3 5 8 - 1 b 1 b 2 b 3

Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:

A A - 1 = I n

Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando 1 por algum número real), então temos:

x 1 x 2 x 3 = 1 2 3 2 5 5 3 5 8 - 1 b 1 b 2 b 3

E aí chegamos no formato que nós queríamos, x = A - 1 b . Só falta definir quem é A - 1 .

Passo 3

Agora, lembra do algoritmo da inversão? É aquele em que nós juntamos a matriz identidade à direita de A , na forma A   |   I , para realizar operações com linhas e produzir A - 1 , na forma I   |   A - 1 ; onde I é a matriz identidade.

Vamos escrever a matriz na forma A   |   I :

A   |   I = 1 2 3 2 5 5 3 5 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar zerando os elementos abaixo do pivô da linha 1 . Para isso, vamos multiplicar a linha 1 por - 2 e somar com a linha 2 :

1 2 3 2 5 5 3 5 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 2 3 0 1 - 1 3 5 8 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Em seguida, vamos multiplicar a linha 1 por - 3 e somar com a linha 3 :

1 2 3 0 1 - 1 3 5 8 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 → L 3 → L 3 - 3 L 1 1 2 3 0 1 - 1 0 - 1 - 1 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1

Agora vamos somar a linha 3 com a linha 2 :

1 2 3 0 1 - 1 0 - 1 - 1 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1 → L 3 → L 3 + L 2 1 2 3 0 1 - 1 0 0 - 2 1 0 0 - 2 1 0 - 5 1 1

Vamos multiplicar a linha 3 por - 1 / 2 , para transformar o pivô dessa linha:

1 2 3 0 1 - 1 0 0 - 2 1 0 0 - 2 1 0 - 5 1 1 → L 3 → - 1 2 L 3 1 2 3 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2

Agora vamos somar a linha 3 com a linha 2 novamente:

1 2 3 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 → L 2 → L 2 + L 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2

Em seguida, vamos multiplicar a linha 3 por - 3 e somar com a linha 1 :

1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 → L 1 → L 1 - 3 L 3 1 2 0 0 1 0 0 0 1 - 13 / 2 3 / 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2

Por fim, vamos multiplicar a linha 2 por - 2 e somar com a linha 1 :

1 2 0 0 1 0 0 0 1 - 13 / 2 3 / 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 → L 1 → L 1 - 2 L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 5 / 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2

Chegamos no formato I   |   A - 1 , então nossa inversa é:

A - 1 = - 15 / 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2

Passo 4

Agora que encontramos nossa inversa, podemos finalmente resolver a equação matricial que vimos lá no passo 2 :

x 1 x 2 x 3 = 1 2 3 2 5 5 3 5 8 - 1 b 1 b 2 b 3

Substituindo a inversa:

x 1 x 2 x 3 = - 15 / 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 5 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 b 1 b 2 b 3

Realizando a multiplicação das matrizes, temos:

x 1 = 1 2 ( - 15 b 1 + b 2 + 5 b 3 )

x 2 = 1 2 b 1 + b 2 - b 3

x 3 = 1 2 5 b 1 - b 2 - b 3

Que é a solução geral do nosso sistema.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x 1 = 1 2 ( - 15 b 1 + b 2 + 5 b 3 )

x 2 = 1 2 b 1 + b 2 - b 3

x 3 = 1 2 5 b 1 - b 2 - b 3

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =1 - 1 - 4 1 .Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1 São tais que A = P D P - 1 .Determine A k , para k =1, 2, 3...
23. Sejam Ax=b um sistema de equações lineares consistente arbitrário e x1 uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escrita na forma x=x1+x0, em que x0 é a solução de Ax=0.
Simplifique(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1)
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz A = ([[3,1],[5,2]])
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz D = ([[2,0],[0,3]])