13 – Considere as matrizes:

A = 1 1 - 2 4 ,     P = 1 1 1 2

Sabendo-se que

P - 1 = 2 - 1 - 1 1

E que a matriz P - 1 A P é diagonal, temos que a soma das duas entradas na primeira coluna da matriz A 47 é igual a:

a) - 2 48 + 2 · 3 49

b) 2 49 - 3 48

c) 2 47 + 3 47

d) 3 · 2 49 + 2 · 3 48

e) 2 48 - 3 49

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, foi dada uma matriz A e nosso objetivo é calcular A 47 .

Mas será que vamos ter que multiplicar A por ele mesmo 47 vezes? 🤔

Para isso, temos a informação que A é diagonalizavel, ou seja, P - 1 A P resulta em uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de A .

Podemos usar essa informação para aplicar uma regra muito interessante que nos diz

A k = P D k P - 1

Em que D é a matriz diagonal de A .

Sacou? Encontramos os autovalores de A , montamos D e fazemos o caminho inverso de P - 1 A P para encontrar A k .

Veja só! 👀

Passo 2

Podemos obter D fazendo D = P - 1 A P ou encontrando os autovalores det ⁡ A - λ I = 0

Pela segunda opção, temos

1 - λ 1 - 2 4 - λ = 0

1 - λ 4 - λ - - 2 = 0

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Obtendo as raízes desse polinômio...

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 3

Logo, D é dado por

D = 2 0 0 3

Aplicando a regrinha para k = 47 , temos

A 47 = P D 47 P - 1

Esse método nos ajuda, pois em uma matriz diagonal, basta aplicarmos a potência em seus valores

A 47 = P 2 47 0 0 3 47 P - 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo P e P - 1

A 47 = 1 1 1 2 2 47 0 0 3 47 2 - 1 - 1 1

A 47 = 2 47 3 47 2 47 2 · 3 47 2 - 1 - 1 1

A 47 = 2 4 8 - 3 47 - 2 47 + 3 47 2 · 2 47 - 2 · 3 47 - 2 47 + 2 · 3 47

A 47 = 2 48 - 3 47 - 2 47 + 3 47 2 48 - 2 · 3 47 - 2 47 + 2 · 3 47

Queremos a soma dos termos da primeira coluna de A 47 , ou seja

2 48 - 3 47 + 2 48 - 2 · 3 47

2 48 + 2 48 - 2 · 3 47 - 3 47

2 · 2 48 - 3 · 3 47

Como a · a k = a k + 1 , então

2 49 - 3 48

Portanto, a alternativa b) está correta!!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

b) 2 49 - 3 48

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