Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(b)

B = 2 - 3 4 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:

B = 2 - 3 4 4

Bom, nós temos uma matriz 2 × 2 , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:

Uma matriz 2 × 2 , da forma

B = a b c d

É invertível se, e só se, a d - b c ≠ 0 , caso em que a inversa é dada pela fórmula:

B - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Legal, então no caso da matriz 2 × 2 nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!

Passo 2

A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:

a d - b c ≠ 0

Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

No nosso caso, temos:

B = 2 - 3 4 4

E o determinante de B é:

det ⁡ B = 2 ∙ 4 - - 3 ∙ 4

det ⁡ B = 20

Como o determinante é diferente de 0 , det ⁡ B ≠ 0 , podemos dizer que nossa matriz é invertível.

Passo 3

Agora vamos calcular sua inversa.

Usando a fórmula do nosso teorema:

B - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Temos, para a matriz

B = a b c d = 2 - 3 4 4

Sua inversa:

B - 1 = 1 2 ∙ 4 - ( - 3 ∙ 4 ) 4 3 - 4 2

Calculando,

B - 1 = 1 20 ∙ 4 3 - 4 2

Multiplicando a matriz pela constante 1 / 20 , temos:

B - 1 = 4 / 20 3 / 20 - 4 / 20 2 / 20

Simplificando:

B - 1 = 1 / 5 3 / 20 - 1 / 5 1 / 1 0

E encontramos a inversa. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

B - 1 = 1 / 5 3 / 20 - 1 / 5 1 / 10

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