Mostre que A = 0 a 0 0 0 b 0 c 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0 é não-invertível para quaisquer valores das entradas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente mostrar que essa matriz A não é invertível para qualquer valor das entradas. Ou seja, temos que mostrar que a matriz não possui inversa independentemente do valor das entradas a , b , c , d , e , f , g e h . Mas como fazemos isso?

Bom, para encontrar a inversa de uma matriz a gente pode aplicar o algoritmo da inversão, que diz pra gente operar A     I n ] até ela se transformar em I n     A - 1 ] . Então, vamos aplicar esse algoritmo e ver se dar certo.

Passo 2

Galera, nós queremos reduzir A à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir A - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de A , com o que produzimos uma matriz da forma:

A   |   I

Então, temos

A   |   I = 0 a 0 0 0 b 0 c 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Vamos começar trocando a linha 1 com a linha 2 e a linha 4 com a linha 5 :

0 a 0 0 0 b 0 c 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 L 1 ↔ L 2 L 4 ↔ L 5 b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 h 0 0 0 f 0 g 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Agora vamos multiplicar a linha 1 por 1 / b e a linha 2 por 1 / a :

b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 h 0 0 0 f 0 g 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 L 1 → 1 b L 1 L 2 → 1 a L 2 1 0 c / b 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 h 0 0 0 f 0 g 0 1 / b 0 0 0 1 / a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Em seguida, vamos multiplicar a linha 4 por 1 / h e a linha 5 por 1 / f :

1 0 c / b 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 h 0 0 0 f 0 g 0 1 / b 0 0 0 1 / a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 L 4 → 1 h L 4 L 5 → 1 f L 5 1 0 c / b 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g / f 0 1 / b 0 0 0 1 / a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 / h 0 0 0 1 / f 0

Passo 3

Agora vamos tentar zerar os elementos abaixo do pivô da linha 2 , multiplicado a linha 2 por - d e somando na linha 3 . Assim:

1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0 → L 3 → L 3 - d L 2 1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 - d a 0 1 0 0 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0

Agora vamos multiplicar a linha 3 por - e e somar na linha 3 :

1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 d a 0 1 0 0 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0 → L 3 → L 3 - e L 4 1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f - 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 d a 0 1 0 - e h 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0

Percebe que agora nós temos uma linha de zeros na matriz?

Isso torna nossa matriz singular, e uma matriz singular não possui inversa. Logo, mesmo sem conhecer os valores de a , b , c , d , e , f , g e h , nós podemos dizer que a matriz A é não-invertível, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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