19) Considere a matriz

A = a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n

Onde a 11 a 22 … a n n ≠ 0 . Mostre que A é invertível e encontre a sua inversa.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Nesse exercício, precisamos primeiro verificar se a matriz é invertível.

Mas, vocês lembram qual condição uma matriz precisa obedecer pra ser considerada invertível?

Bom, para sabermos se uma matriz é invertível precisamos encontrar o seu determinante. Se o determinante de uma matriz for diferente de zero, então a matriz é invertível. Caso contrário ela não possui uma matriz inversa.

Dessa forma, podemos concluir que somente uma matriz quadrada possui inversa, já que somente podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada é uma matriz que possui a mesma quantidade de linhas e colunas.

Legal, é justamente o nosso caso!

Passo 2

Outra característica importantíssima da nossa matriz é que ela é uma Matriz Diagonal.

Ou seja, ela tem todos os elementos iguais a zero, exceto aos que pertencem a diagonal principal.

Ok, você deve estar se perguntando como sabemos que os números da diagonal principal não são zero.

Sabemos disso devido a seguinte informação do enunciado:

a 11 a 22 … a n n ≠ 0

Então todos os elementos dessa diagonal precisam ser diferentes de zero para que a multiplicação desses valores também seja diferente de zero.

Bacana, né?

Além disso, esse produto é a determinante da matriz diagonal. Como o produto é diferente de zero, essa matriz é invertível!

Passo 3

Nesse passo vamos encontrar a matriz inversa.

A matriz inversa de A , chamada de A - 1 , é aquela que, quando multiplicada por A , resultará em uma matriz identidade.

Para relembrar:

Matriz identidade é aquela que possui todos os seus elementos iguais a 0 , exceto pela diagonal principal que tem todos os seus valores iguais a 1 . É uma matriz do tipo:

1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1

Então, temos que:

a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n * x 0 … 0 0 y … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … z = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1

E, por sistema simples:

a 11 * x = 1

a 22 * y = 1

a n n * z = 1

Isolando as nossas novas variáveis:

x = 1 / a 11

y = 1 / a 22

z = 1 / a n n

Independentemente de quais sejam as novas variáveis, repare que o termo da matriz inversa será sempre 1 sobre o valor da matriz original.

Então podemos dizer que A - 1 é:

1 a 11 0 … 0 0 1 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 a n n

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 a 11 0 … 0 0 1 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 a n n

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