28) Encontre a inversa das matrizes:

B = - 3 6 4 5

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? 

Bora lá resolver mais uma questão!!

O enunciado nos deu uma matriz 2 × 2 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso? O que é uma matriz inversa?

Uma matriz inversa é uma matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas e colunas. Tá, mas o que eu devo fazer pra encontrar a matriz inversa?

Antes de tudo, devemos lembrar que a matriz inversa ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Então, para encontrarmos a inversa, vamos descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha resultado uma matriz identidade.

Além disso, vamos dizer que a matriz C é a inversa de B e é representada por B - 1 !

E vale lembrar de mais uma coisinha também: só teremos uma matriz inversa quando o determinante for diferente de zero, ok?

Falando assim parece meio estranho, né? Mas bora lá resolver isso que você vai ver como é tranquilinho!

Passo 2

Vamos montar aquilo que falamos ali em cima agora!

Mas antes, vamos ver se o determinante da matriz é diferente de zero, para que possamos ter uma matriz inversa!

B = - 3 6 4 5 →   det ⁡ B = - 3   .   5 - 6   .   4 = - 39

Uhul! Temos um determinante diferente de 0 , então temos uma inversa a ser encontrada aqui!

Agora, vamos lembrar que a matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e o restante dos elementos é 0 !

Então, para encontrarmos a inversa de acordo com aquilo que foi descrito ali no passo 1, vamos ter que:

B   . B - 1 = I

- 3 6 4 5   .   a b c d = 1 0 0 1

Pronto, agora basta multiplicarmos as duas matrizes seguindo o resultado (que é a matriz identidade), para encontrarmos os valores de a ,   b ,   c e d , e, portanto, a matriz inversa!

Passo 3

Fazendo a multiplicação entre as matrizes, vamos ter o seguinte:

- 3 . a + 6 . c - 3 . b + 6 . d 4 . a + 5 . c 4 . b + 5 . d = 1 0 0 1

Resolvendo a igualdade acima, temos que:

- 3 a + 6 c = 1       ( I )

- 3 b + 6 d = 0   → b = - 6 d - 3 = 2 d       I I

4 a + 5 c = 0   → a = - 5 c 4     I I I

4 b + 5 d = 1     ( I V )

Substituindo I I em I V :

4 2 d + 5 d = 1     →   d = 1 13     ( V )

Substituindo V em I I :

b = 2 1 13 = 2 13       V I

Substituindo I I I em I :

- 3 - 5 c 4 + 6 c = 1   →   39 c 4 = 1     →     c = 4 39       ( V I I )

Substituindo V I I em I I I :

a = - 5 . 4 39 4 = - 5 39

Agora que encontramos todos os valores para a ,   b ,   c e d , vamos ter que a matriz inversa se dá por:

B - 1 = - 5 39 2 13 4 39 1 13

Uhul! Conseguimos galera!

Bora resolver o próximo exercício?

Resposta

B - 1 = - 5 39 2 13 4 39 1 13

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