Considere o produto C = A B , onde A   e B   são matrizes que representam transformações bijetivas:

I -   As linhas de A são combinações lineares das linhas de C

I I -   As linhas de B   são combinações lineares das linhas de C

a) I é verdadeira e I I é falsa

b)   I é falsa e I I é verdadeira

c) Ambas são verdadeiras

d) Ambas são falsas

Passo 1

Vamos analisar a afirmativa I :

Quero saber se as linhas de A são C L ' s das linhas de C em:

C = A B

Como, de acordo com o enunciado, A e B são bijetivas, vou multiplicar por B - 1 pela esquerda:

C B - 1 = A B B - 1

Pela definição de matriz inversa, B B - 1 = I , então temos:

C B - 1 = A

Sabemos que as colunas da matriz resultante são combinações lineares das colunas da primeira matriz com os elementos da segunda como coeficientes! Ou seja, as colunas de A   são combinações das colunas de C e não as linhas como fala na afirmativa!!

Dessa forma, essa afirmativa é falsa!

Passo 2

Agora a afirmativa I I :

Quero saber se as linhas de B são C L ' s das linhas de C em:

C = A B

Vou agora multiplicar por A - 1 dos dois lados pela direita:

A - 1 C = A - 1 A B

Como, de novo, pela definição de matriz inversa, A - 1 A = I , temos:

A - 1 C = B

Na múltiplicação de matrizes, sabemos que as linhas da matriz resultante são combinações lineares das linhas da segunda matriz com os elementos da primeira como coeficientes. Assim, as linhas de B são de fato combinações das linhas de C !

Assim, essa afirmativa é verdadeira!

Resposta

b

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