Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justificando sua resposta.

(b) Se A e B são matrizes semelhantes, então det ⁡ A = det ⁡ B .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Esse tipo de questão é muito interessante e bastante cobrado por nossos queridos profs, pois elas são ótimas para o aluno compreender alguns assuntos, então ter experiência nesse tipo de questão é uma baita vantagem para vir o 10 na prova!

Para essa questão, vamos julgar algumas afirmações, de acordo com nossa análise, dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.

Essa questão é bem rapidinha, então com essa breve introdução, podemos partir para o principal objetivo.

Passo 2

A afirmação que vamos julgar diz que “Se A e B são matrizes semelhantes, então det ⁡ A = det ⁡ B ”.

Temos duas matrizes, a matriz A e a matriz B e elas são semelhantes, por isso, o determinante da matriz A é igual o determinante da matriz B .

Blz, mas o que são matrizes semelhantes? 🤔🤔

A definição de matrizes semelhantes é: “duas matrizes quadradas são semelhantes de existir uma matriz M invertível, tal que A = M - 1 B M

A partir dessa definição, podemos afirmar que as matrizes A e B são quadradas de ordem n

Se A e B são semelhantes, há uma relação de equivalência, por exemplo: se A é semelhante a B , logo B é semelhante a A .

Uma matriz A é semelhante a si mesma e por fim, se A é semelhante a B e B é semelhante a C , logo A é semelhante a C .

A partir das 7 propriedades de matrizes semelhantes, temos que:

1- A é invertível apenas se B também for.

2- A e B possuem o mesmo polinômio característico.

3- A e B tem os mesmos autovalores com a mesma multiplicidade.

4- A e B tem o mesmo traço.

5- A k e B k são semelhantes para todo k ∈ N .

6- As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.

7- det ⁡ A = det ⁡ B

Podemos provar a propriedade 7 da seguinte maneira:

Se A = M - 1 B M , então

A partir dessa propriedade, podemos afirmar de o item b é verdadeiro.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Verdadeiro! ✔

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