Considere a matriz:

A = - 1 - 1 1 0 0 0 1 2 1 - 1 1 0 2 1 0 0

Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz A - 1 é igual a:

  1. 3 4 ;
  2. - 3 2 ;
  3. 0 ;
  4. 1 2 ;
  5. - 1 4 .

Passo 1

Fala aí, galera! Tudo bem com vocês?

Essa questão é uma daquelas que eu gosto de chamar de questão “força bruta”. Força bruta porque como o enunciado tá pedindo pra gente quanto dá a soma dos elementos da diagonal principal da matriz inversa da A , não tem muito jeito: a gente vai precisar calcular A - 1 . Então se prepara porque lá vem conta! Hahah

Passo 2

Beleza, vamos precisar calcular A - 1 e deve ter pelo menos uma meia dúzia de formas diferentes de fazer isso hahah. Aqui vamos usar a seguinte: a gente vai colocar nossa matriz A ao lado da matriz identidade, numa matriz aumentada. Então, vamos escalonar A até que ela vire a identidade. Quando isso acontecer, a matriz que aparecer no lugar onde antes estava a identidade é A - 1 .

Show? Começamos então montando a tal matriz aumentada:

- 1 - 1 1 0 0 0 1 2 1 - 1 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Agora, vamos realizar as seguintes duas operações elementares:

  • Somar linhas 1 e 3 ( l 3 ← l 3 + l 1 );
  • Multiplicar linha 1 por 2 e somar com a linha 4 ( l 4 ← l 4 + 2 l 1 ).

Feito isso, temos:

- 1 - 1 1 0 0 0 1 2 0 - 2 2 0 0 - 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1

Agora, vamos permutar as linhas 2 e 4 ( l 2 ↔ l 4 ):

- 1 - 1 1 0 0 - 1 2 0 0 - 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0

Multiplicando a linha 2 por - 2 e somando com a linha 3 ( l 3 ← l 3 - 2 l 2 ), obtemos:

- 1 - 1 1 0 0 - 1 2 0 0 0 - 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 2 0 0 1 - 3 0 1 - 2 0 1 0 0

Agora, vamos multiplicar a linha 3 por 1 / 2 e somar com a linha 4 ( l 4 ← l 4 + 1 2 l 3 ):

- 1 - 1 1 0 0 - 1 2 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 1 - 3 0 1 - 2 - 3 / 2 1 1 / 2 - 1

Show! Agora a gente faz as duas seguintes operações:

  • Multiplica a linha 3 por 1 / 2 e soma com a linha 1 ( l 1 ← l 1 + 1 2 l 3 );
  • Soma as linhas 2 e 3 ( l 2 ← l 2 + l 3 ).

Feito isso, temos:

- 1 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 - 1 0 1 - 1 - 3 0 1 - 2 - 3 / 2 1 1 / 2 - 1

Ufa, haja conta!! Já tô cansado... Mas não desanima não que a gente já tá quase acabando!

Vamos agora multiplicar a linha 2 por - 1 e somar com a linha 1 ( l 1 ← l 1 - l 2 ):

- 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 1 / 2 0 - 1 / 2 0 - 1 0 1 - 1 - 3 0 1 - 2 - 3 / 2 1 1 / 2 - 1

Olha só! A matriz da esquerda já tá quase uma identidade, hein? Vamos agora só multiplicar as linhas 1 e 2 por - 1 , a linha 3 por - 1 / 2 e a linha 4 por 1 / 2 e já tá pronto:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 - 1 1 3 / 2 0 - 1 / 2 1 - 3 / 4 1 / 2 1 / 4 - 1 / 2

Passo 3

Ufa! Acabou a parte difícil. Como a matriz do lado esquerdo virou a identidade, então temos que:

A - 1 = - 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 - 1 1 3 / 2 0 - 1 / 2 1 - 3 / 4 1 / 2 1 / 4 - 1 / 2

Como a questão queria saber a soma dos elementos da diagonal principal de A - 1 , agora estamos em condição de responder:

- 1 2 + 0 - 1 2 - 1 2 = - 3 2

Et voilà! A resposta certa é a (b).

Que tal irmos agora para mais uma questão? (Preferencialmente uma com menos conta, né? Hahah)

Resposta

(b) - 3 2 ;

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