28) Encontre a inversa das matrizes:

D = 3 4 - 1 1 0 3 2 5 - 4

Passo 1

Opa pessoas lindas desse mundãooo do Responde Aí!! Leu esse enunciado e ficou um pouco confuso?  

Calma, vamos resolver juntos com muito amor e carinho hehehehehe. Vamos que vamos!!

O enunciado nos deu uma matriz 3 × 3 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso? O que é uma matriz inversa?

Uma matriz inversa é uma matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas e colunas. Tá, mas o que eu devo fazer pra encontrar a matriz inversa?

Como aqui temos uma matriz 3 × 3 , vamos utilizar o método da eliminação de Gauss. Mas nossa, o que é isso?

O método da eliminação de Gauss permite acharmos a matriz inversa de maneira mais fácil e menos propensa a erros! Conforme formos resolvendo-a, você vai entender bem melhor o porquê disso!

Além disso, vamos dizer que a matriz E é a inversa de D e é representada por D - 1 !

E vale lembrar de mais uma coisinha também: só teremos uma matriz inversa quando o determinante for diferente de zero, ok?

Falando assim parece meio estranho, né? Mas bora lá resolver isso que você vai ver como é tranquilinho!

Passo 2

Vamos começar então, checando se o determinante da matriz é diferente de zero, para que possamos ter uma matriz inversa!

D = 3 4 - 1 1 0 3 2 5 - 4

Como temos uma matriz 3 × 3 , para encontrar seu determinante, vamos primeiro duplicar suas duas primeiras colunas, e em seguida fazer a soma da multiplicação dos elementos da diagonal principal, subtraído da soma da multiplicação dos elementos da diagonal secundária!

Vamos chamar aqui de: a soma dos que foram, menos a soma dos que voltaram hahaha! Bora lá então:

det ⁡ D = 3 4 - 1 1 0 3 2 5 - 4 3 4 1 0 2 5 =

= 3 * 0 * - 4 + 4 * 3 * 2 + - 1 * 1 * 5 - 4 * 1 * - 4 + 3 * 3 * 5 + - 1 * 0 * 2

= 0 + 24 - 5 - - 16 + 45 + 0 = 19 - 29 = - 10

Uhul! O determinante deu diferente de 0 ! Bora lá calcular a matriz inversa então!

Passo 3

Agora vamos aplicar o método da eliminação Gaussiana para encontrarmos a inversa!

Para começar, vamos aumentar a nossa matriz original D , ao adicionar uma matriz identidade também 3 × 3 ao seu lado!

Lembre-se que a matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e o restante dos elementos é 0 !

Então teremos algo assim:

D   |   I

Tá, mas e agora o que eu faço com isso?

Vamos efetuar operações elementares, de modo que o lado esquerdo passe a ser a matriz identidade, e o lado direito torne-se a nossa inversa!! Ou seja, teremos o seguinte: D     I     →     I     D - 1

Vamos lá realizar essas operações então!

Passo 4

Relembrando nossa estrutura que sofrerá as operações elementares:

Para realizar as operações, chamaremos as linhas 1 ,   2   e 3 respectivamente de L 1 ,   L 2 e L 3 , e vamos ter um único objetivo em mente, que não é o de encontrar a matriz inversa, mas sim, fazermos surgir a matriz identidade do lado esquerdo!!

Esse pensamento vai ser a chave pra gente descobrir que operações devemos fazer!!!

Vamos começar multiplicando cada elemento de L 1 por 1 3 :

Agora faremos: L 2 = L 2 - L 1 :

Seguindo, faremos: L 3 = L 3 - 2 L 1 :

Multiplicaremos então L 2 por - 3 4 :

Faremos agora a operação de linha: L 3 = L 3 - 7 3 L 2 :

Multiplicaremos cada elemento de L 3 por 2 5 :

Faremos a operação de linha: L 2 = L 2 + 5 2 :

Faremos a operação de linha: L 1 = L 1 + 1 3 L 3 :

E, por fim, vamos fazer a operação: L 1 = L 1 - 4 3 L 2 :

Olha só que legal! Todas as operações que realizamos foi com o objetivo de fazer surgir a matriz identidade do lado esquerdo, e foi exatamente isso que aconteceu!

Agora sabemos que a matriz presente do lado direito é a nossa matriz inversa D - 1 !

D - 1 = 3 2 - 11 10 - 6 5 - 1 1 1 - 1 2 7 10 2 5

Uhul! Nem foi tão difícil assim, vai!

Bora lá resolver mais uma questãozinha, então?

Resposta

D - 1 = 3 2 - 11 10 - 6 5 - 1 1 1 - 1 2 7 10 2 5

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