Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(c)

C = 2 0 0 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:

C = 2 0 0 3

Bom, nós temos uma matriz 2 × 2 , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:

Uma matriz 2 × 2 , da forma

C = a b c d

É invertível se, e só se, a d - b c ≠ 0 , caso em que a inversa é dada pela fórmula:

C - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Legal, então no caso da matriz 2 × 2 nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!

Passo 2

A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:

a d - b c ≠ 0

Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

No nosso caso, temos:

C = 2 0 0 3

E o determinante de C é:

det ⁡ C = 2 ∙ 3 - 0 ∙ 0

det ⁡ C = 6

Como o determinante é diferente de 0 , det ⁡ C ≠ 0 , podemos dizer que nossa matriz é invertível.

Passo 3

Agora vamos calcular sua inversa.

Usando a fórmula do nosso teorema:

C - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Temos, para a matriz

C = a b c d = 2 0 0 3

Sua inversa:

C - 1 = 1 2 ∙ 3 - 0 ∙ 0 3 - 0 - 0 2

Calculando,

C - 1 = 1 6 ∙ 3 0 0 2

Multiplicando a matriz pela constante 1 / 6 , temos:

C - 1 = 3 / 6 0 / 6 0 / 6 2 / 6

Simplificando:

C - 1 = 1 / 2 0 0 1 / 3

E encontramos a inversa. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

C - 1 = 1 / 2 0 0 1 / 3

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =1 - 1 - 4 1 .Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1 São tais que A = P D P - 1 .Determine A k , para k =1, 2, 3...
23. Sejam Ax=b um sistema de equações lineares consistente arbitrário e x1 uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escrita na forma x=x1+x0, em que x0 é a solução de Ax=0.
Simplifique(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1)
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz A = ([[3,1],[5,2]])
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz D = ([[2,0],[0,3]])