Encontre a inversa das matrizes:

F = 1 0 1 0 1 1 1 1 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma matriz 3 × 3 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso?

Bom, a primeira coisa é supor que essa matriz F seja invertível. E aí, nós temos uma coisa chamada “algoritmo da inversão”.

Nada mais é que encontrar uma sequência de operações elementares com linhas que reduza a matriz F à matriz identidade I n .   Porque assim, consequentemente, nós vamos reduzir a matriz identidade à inversa de F , no caso F - 1 .

Calma, que vai ficar mais claro à medida que nós formos fazendo.

Passo 2

Galera, nós queremos reduzir F à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir F - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de F , com o que produzimos uma matriz da forma:

F   |   I

Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I e o direito a F - 1 , de modo que a matriz final terá a forma:

I   |   F - 1

Então, temos

F   |   I = 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Subtraindo a linha 1 da linha 3 , temos:

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 → L 3 - L 1 1 0 1 0 1 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1

Agora vamos subtrair a linha 2 da linha 3 :

1 0 1 0 1 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 1 0 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 1

Já estamos perto de encontrar a matriz identidade do lado esquerdo, só falta modificar a coluna 3 .

Passo 3

Vamos agora multiplica a linha 3 por - 1 / 2 :

1 0 1 0 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 1 → L 3 → - 1 2 L 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 - 1 2

Agora, vamos zerar os elementos acima do pivô da linha 3 . Para isso, vamos subtrair a linha 3 da linha 1 :

1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 - 1 2 → L 1 → L 1 - L 3 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 2 - 1 2

E então subtrair a linha 3 da linha 2 :

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 2 - 1 2 → L 2 → L 2 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2

E encontramos nossa inversa, porque encontramos a identidade do lado esquerdo, então temos:

I   |   F - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2

E separando a inversa:

F - 1 = 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

F - 1 = 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2

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