Encontre a inversa de

A = 1 2 ( e x + e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:

A = 1 2 ( e x + e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

Bom, nós temos uma matriz 2 × 2 , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:

Uma matriz 2 × 2 , da forma

A = a b c d

É invertível se, e só se, a d - b c ≠ 0 , caso em que a inversa é dada pela fórmula:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Legal, então no caso da matriz 2 × 2 nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!

Passo 2

A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:

a d - b c ≠ 0

Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

No nosso caso, temos:

A = 1 2 ( e x + e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

E o determinante de A será:

det ⁡ A = 1 2 e x + e - x ∙ 1 2 e x + e - x - 1 2 e x - e - x ∙ 1 2 e x - e - x

Vamos multiplicar primeiro o que tá dentro dos colchetes para obter:

det ⁡ A = 1 4 e x + e - x 2 - 1 4 e x - e - x 2

Abrindo essas potências, temos:

det ⁡ A = 1 4 e 2 x + 2 e x e - x + e - 2 x - 1 4 e 2 x - 2 e x e - x + e - 2 x

Juntando tudo e colando 1 4 em evidência, temos:

det ⁡ A = 1 4 e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x

Resolvendo dentro dos parênteses:

det ⁡ A = 1 4 ( 2 + 2 )

det ⁡ A = 1 4 4

det ⁡ ( A ) = 1

Quem diria, né? Haha O determinante daquele troço enorme é 1 e como o determinante é diferente de 0 , det ⁡ A ≠ 0 , podemos dizer que nossa matriz é invertível. Ufa!

Passo 3

Agora vamos calcular sua inversa.

Usando a fórmula do nosso teorema:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Temos, para a matriz

A = a b c d = 1 2 ( e x + e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

Basta inverter a diagonal principal e manter a diagonal secundária trocando o sinal. Então, teremos sua inversa:

A - 1 = 1 1 1 2 ( e x + e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

Multiplicando a matriz pela constante 1 , temos:

A - 1 = 1 2 ( e x + e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

E encontramos nossa inversa. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A - 1 = 1 2 ( e x + e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) - 1 2 ( e x - e - x ) 1 2 ( e x + e - x )

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