Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(a) x 1 + x 2 = 2 5 x 1 + 6 x 2 = 9

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se A for uma matriz invertível n × n , então para cada matriz b de tamanho n × 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber x = A - 1 b ”.

Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:

1 1 5 6 x 1 x 2 = 2 9

Repare que o nosso sistema tem a forma A x = b e queremos chegar na forma x = A - 1 b para encontrar a inversa.

Passo 2

Então, eu posso multiplicar 1 1 5 6 - 1 dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:

1 1 5 6 1 1 5 6 - 1 x 1 x 2 = 1 1 5 6 - 1 2 9

Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:

A A - 1 = I n

Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando 1 por algum número real), então temos:

x 1 x 2 = 1 1 5 6 - 1 2 9

E aí chegamos no formato que nós queríamos, x = A - 1 b . Só falta definir quem é A - 1 .

Passo 3

Agora temos outro teorema para nos ajudar, que diz que a inversa de uma matriz 2 × 2 pode ser calculada pela fórmula:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Onde A = a b c d e a d - b c ≠ 0 .

Assim, para o nosso caso, temos:

A - 1 = 1 1 5 6 - 1 = 1 1 ∙ 6 - 1 ∙ 5 6 - 1 - 5 1

A - 1 = 1 1 6 - 1 - 5 1 = 6 - 1 - 5 1

Jogando esse resultado na nossa equação matricial do passo 2 , temos:

x 1 x 2 = 1 1 5 6 - 1 2 9

x 1 x 2 = 6 - 1 - 5 1 2 9

Fazendo a multiplicação de matrizes, temos:

x 1 = 12 - 9 = 3

x 2 = - 10 + 9 = - 1

E resolvemos nosso sistema, com x 1 = 3 e x 2 = - 1 .

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x 1 = 3

x 2 = - 1

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