Encontre a inversa de

A = c o s θ s e n θ - s e n θ c o s θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:

A = c o s θ s e n θ - s e n θ c o s θ

Bom, nós temos uma matriz 2 × 2 , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:

Uma matriz 2 × 2 , da forma

A = a b c d

É invertível se, e só se, a d - b c ≠ 0 , caso em que a inversa é dada pela fórmula:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Legal, então no caso da matriz 2 × 2 nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!

Passo 2

A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:

a d - b c ≠ 0

Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

No nosso caso, temos:

A = c o s θ s e n θ - s e n θ c o s θ

E o determinante de A será:

det ⁡ A = ( cos ⁡ θ ) ∙ ( cos ⁡ θ ) - sin ⁡ θ ) ∙ ( - sin ⁡ θ

det ⁡ A = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Agora, olha só que interessante. Lembra que temos uma identidade trigonométrica que é:

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

Então, basta substituir essa identidade na nossa equação e ficamos com o determinante:

det ⁡ ( A ) = 1

Legal! Como o determinante é diferente de 0 , det ⁡ A ≠ 0 , podemos dizer que nossa matriz é invertível.

Passo 3

Agora vamos calcular sua inversa.

Usando a fórmula do nosso teorema:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Temos, para a matriz

A = a b c d = c o s θ s e n θ - s e n θ c o s θ

Sua inversa:

A - 1 = 1 ( cos ⁡ θ ) ∙ ( cos ⁡ θ ) - sin ⁡ θ ) ∙ ( - sin ⁡ θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Calculando,

A - 1 = 1 1 ∙ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Multiplicando a matriz pela constante 1 , temos:

A - 1 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E encontramos a inversa. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A - 1 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

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