Enunciado

Considere as afirmativas:

  1. Sejam A e B matrizes invertíveis. Se A e B comutam (isto é, A B = B A ) então A - 1 e B - 1 comutam.
  2. Seja A = a 11 a 12 a 21 a 22 uma matriz invertível. Então a 11 ≠ 0 .
  1. (I) é falsa e (II) é falsa.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belejóia galerinha, na afirmativa (I) queremos saber se sejam A e B matrizes invertíveis, se A e B comutam (isto é, A B = B A ) então A - 1 e B - 1 comuta também ( A - 1 B - 1 = B - 1 A - 1 ) . E pra poder testar essa afirmativa a gente pode fazer algumas operações partindo do que a gente conhece, que é:

A B = B A

Primeiro, podemos multiplicar tudo por A - 1 , dos dois lados, respeitando a ordem, isto é, se eu multiplico pela esquerda de um lado, vou ter que multiplicar pela esquerda do outro lado também, assim ó:

A - 1 A B = A - 1 B A

E o interessante da gente fazer isso é que quando temos uma multiplicação do tipo

A - 1 A           o u           A - 1 A

Ela vai resultar na Matriz Identidade, I :

A - 1 A = A A - 1 = I

Onde I   é o elemento neutro da multiplicação, I A = A .

Passo 2

Isso quer dizer que podemos substituir aquele A A - 1 por I , desse jeito:

A A - 1 ⏝ I B = A - 1 B A

I B = A - 1 B A

B = A - 1 B A

Show de bola, tá começando a ficar divertido heim rsrs. Agora vamos multiplicar por ( A - 1 ) , pela direita, dos dois lados, assim ó:

B A - 1 = A - 1 B A A - 1

Logo:

B A - 1 = A - 1 B A A - 1 ⏝ I

B A - 1 = A - 1 B

Passo 3

Iradoso, já que tá dando certo, vamos então multiplicar por ( B - 1 ) , pela esquerda, dos dois lados desse jeito:

( B - 1 ) B A - 1 = ( B - 1 ) A - 1 B

B - 1 B ⏝ I A - 1 = B - 1 A - 1 B

A - 1 = B - 1 A - 1 B

E por fim, multiplicando por ( B - 1 ) , pela direita, dos dois lados vamos obter:

A - 1 B - 1 = B - 1 A - 1 B B - 1

A - 1 B - 1 = B - 1 A - 1 B B - 1 ⏝ I

A - 1 B - 1 = B - 1 A - 1

Então sim, realmente se A e B comutam, então B - 1 e A - 1 também irão comutar. Verdadeira.

Passo 4

Agora na afirmativa (II), queremos verificar que, seja A = a 11 a 12 a 21 a 22 uma matriz invertível, então a 11 ≠ 0 . E pra isso a gente pode ser bem sagaz e pegar um contra exemplo, pensa comigo, se tivéssemos a matriz do tipo:

A = 0 1 1 0

Onde a 11 = 0 . Para uma matriz ser invertível, basta que ela seja quadrada e a dimensão do seu núcleo ser igual a 0 . Nossa matriz do contra exemplo possui duas colunas linearmente independente, fazendo com que a dim ⁡ I m A = 2 . E como estamos falando de uma matriz ( 2 × 2 ), isso faz com que seu núcleo tenha dimensão igual a 0 , o que caracteriza uma matriz invertível. Logo, nossa afirmativa é Falsa. E nossa resposta final é Letra (b).

Resposta

Letra b.

  1. Verdadeira.
  2. Falsa.

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