Encontre a inversa das matrizes:

H = 1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma matriz 4 × 4 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso?

Bom, a primeira coisa é supor que essa matriz H seja invertível. E aí, nós temos uma coisa chamada “algoritmo da inversão”.

Nada mais é que encontrar uma sequência de operações elementares com linhas que reduza a matriz H à matriz identidade I n .   Porque assim, consequentemente, nós vamos reduzir a matriz identidade à inversa de H , no caso H - 1 .

Calma, que vai ficar mais claro à medida que nós formos fazendo.

Passo 2

Galera, nós queremos reduzir H à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir H - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de H , com o que produzimos uma matriz da forma:

H   |   I

Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I e o direito a H - 1 , de modo que a matriz final terá a forma:

I   |   H - 1

Então, temos

H   |   I = 1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Passo 3

Vamos começar zerando os elementos abaixo do pivô da linha 1 . Para isso, vamos multiplicar a linha 1 por - 1 e somar com a segunda, terceira e quarta linhas:

1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 1 → - 1 L 1 + L 2 L 1 → - 1 L 1 + L 3 L 1 → - 1 L 1 + L 4 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 3 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1

Agora multiplicamos a segunda linha por - 1 e somamos com a terceira e quarta linhas:

1 0 0 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 3 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1 → L 3 → - 1 L 2 + L 3 L 4 → - 1 L 2 + L 4 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1

Agora vamos multiplicar a terceira linha por - 5 e somar com a quarta linha:

1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 5 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 - 1 0 1 → L 4 → L 4 - 5 L 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 4 - 5 1

Agora, olha para o lado esquerdo da matriz. Percebe que só falta essa diagonal principal ser igual a 1 para termos a matriz identidade? Então, vamos fazer isso.

Passo 4

Vamos multiplicar a linha 2 por 1 / 3 :

1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 4 - 5 1 → L 2 → 1 3 L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 1 0 0 4 - 5 1

Multiplicando a terceira linha por 1 / 5 :

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 1 0 0 4 - 5 1 → L 3 → 1 5 L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 - 5 1

Por fim, vamos multiplicar a linha 4 por 1 / 7 :

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 - 5 1 → L 4 → 1 7 L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 / 7 - 5 / 7 1 / 7

Então, encontramos nossa inversa:

I   |   H - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 / 7 - 5 / 7 1 / 7

Ou seja,

H - 1 = 1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 / 7 - 5 / 7 1 / 7

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

1 0 0 0 - 1 / 3 1 / 3 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 0 0 4 / 7 - 5 / 7 1 / 7

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