21) A soma de matrizes invertíveis é invertível?

Passo 1

Oiee galerinha, como vocês estão? Tudo belezinha por aí?

Quero todo mundo felizinho assim no fim dessa questão, show? Então vamos!!

Esse é um exercício completamente conceitual onde precisamos checar a afirmação que a soma de quaisquer matrizes invertíveis será invertível também.

Como temos uma afirmação, a melhor maneira de verificá-la é testando algum caso que falhe.

Passo 2

Vamos começar esse passo com uma pergunta. Qual a condição para o resultado da soma não ser invertível?

A única resposta é que a determinante dessa nova matriz (resultado da soma) deve ser zero. Se a determinante é zero, não podemos inverter a matriz.

Perfeito! E há alguma condição para que o determinante ser zero?

Na verdade, tem sim! Se a matriz possuir uma coluna com todos os valores iguais a zero, por exemplo, seu determinante será zero!

Então vamos criar duas matrizes que, quando somadas, deixem uma coluna igual a zero.

Passo 3

Vamos criar as matrizes e encontrar as suas determinantes:

A = 2 3 1 3 7 - 2 6 8 3

d e t A = 42 - 36 + 24 - 42 - 27 + 32 = - 7

Portanto essa matriz é inversível.

B = 6 7 - 1 5 8 2 0 3 - 3

d e t B = - 144 - 15 - 36 + 105 = - 90

Essa matriz também é reversível.

Agora podemos somar:

A + B = 8 10 0 8 15 0 6 11 0

Como uma coluna inteira é zero, essa determinante também é zero.

Portanto a nossa afirmação é falsa.

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Falso.

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