Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(c) x + y + z = 5 x + y - 4 z = 10 - 4 x + y + z = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se A for uma matriz invertível n × n , então para cada matriz b de tamanho n × 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber x = A - 1 b ”.

Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:

1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 x y z = 5 10 0

Repare que o nosso sistema tem a forma A x = b e queremos chegar na forma x = A - 1 b para encontrar a inversa e o valor das nossas variáveis.

Passo 2

Então, eu posso multiplicar 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 - 1 dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:

1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 - 1   x y z = 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 - 1   5 10 0

Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:

A A - 1 = I n

Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando 1 por algum número real), então temos:

x y z = 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 - 1 5 10 0

E aí chegamos no formato que nós queríamos, x = A - 1 b . Só falta definir quem é A - 1 .

Passo 3

Agora, lembra do algoritmo da inversão? É aquele em que nós juntamos a matriz identidade à direita de A , na forma A   |   I , para realizar operações com linhas e produzir A - 1 , na forma I   |   A - 1 ; onde I é a matriz identidade.

Vamos escrever a matriz na forma A   |   I :

A   |   I = 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos subtrair a linha 1 da linha 2 e subtrair a linha 1 da linha 3 :

1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 1 1 0 0 - 5 - 5 0 0 1 0 0 - 1 1 0 - 1 0 1

Agora vamos fazer algumas trocas de linha. Vamos trocar a linha 1 com a linha 3 , a linha 2 com a linha 1 e trocar a linha 3 com a linha 2 :

1 3 1 0 - 4 - 1 2 3 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 L 1 ↔ L 3 L 2 ↔ L 1 L 3 ↔ L 2 - 5 0 0 1 1 1 0 0 - 5 - 1 0 1 1 0 0 - 1 1 0

Agora vamos multiplicar a linha 1 e a linha 3 por - 1 / 5 :

- 5 0 0 1 1 1 0 0 - 5 - 1 0 1 1 0 0 - 1 1 0 L 1 → - 1 5 L 1 L 3 → - 1 5 L 3 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 / 5 0 - 1 / 5 1 0 0 1 / 5 - 1 / 5 0

Subtraindo a linha 1 da linha 2 , temos:

1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 / 5 0 - 1 / 5 1 0 0 1 / 5 - 1 / 5 0 → L 2 → L 2 - L 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 / 5 0 - 1 / 5 4 / 5 0 1 / 5 1 / 5 - 1 / 5 0

Só falta zerar mais um, então vamos subtrair a linha 3 da linha 2 :

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 / 5 0 - 1 / 5 4 / 5 0 1 / 5 1 / 5 - 1 / 5 0 → L 2 → L 2 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 5 0 - 1 / 5 3 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 1 / 5 0

Chegamos no formato I   |   A - 1 , então nossa inversa é:

A - 1 = 1 / 5 0 - 1 / 5 3 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 1 / 5 0

Passo 4

Agora que encontramos nossa inversa, podemos finalmente resolver a equação matricial que vimos lá no passo 2 :

x y z = 1 1 1 1 1 - 4 - 4 1 1 - 1 5 10 0

Substituindo a inversa:

x y z = 1 / 5 0 - 1 / 5 3 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 1 / 5 0 5 10 0

Realizando a multiplicação das matrizes, temos:

x = 1 + 0 + 0 = 1

y = 3 + 2 + 0 = 5

z = 1 - 2 + 0 = - 1

Então, resolvemos nosso sistema, com x = 1 , y = 5 e z = - 1 .

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x = 1

y = 5

z = - 1

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