Enunciado

Considere a matriz

Tal matriz é inversível? Em caso afirmativo, determine A - 1 .

Passo 1

Lembra que a matriz A vai ser inversível se o determinante dela não for zero.

Então vamos começar calculando o determinante de A.

Pra fazer isso, vamos escalonar a matriz A lembrando que:

  • Substituir uma linha pela soma dela com o múltiplo de outra linha não altera o determinante
  • Trocar as linhas muda o sinal do determinante
  • Multiplicar uma linha por escalar faz com que o determinante também fique multiplicado por esse escalar

Escalonando:

L 4 ← L 4 + L 1

L 3 ← L 3 + L 1

L 2 ← L 2 - L 1

L 2 ↔ L 3

L 4 ↔ L 3

Note que B é uma matriz triangular superior, e o determinante de uma matriz desse tipo é o produto dos elementos da diagonal principal:

det ⁡ B = 1 × 2 × 2 × - 2 = - 8

Como no escalonamento só fizemos operações que não alteram o determinante e duas operações de troca de linha (cada uma mudando o sinal do determinante uma vez), temos:

det ⁡ A = det ⁡ B = - 8 ≠ 0

Logo, a matriz A é inversível!

Passo 2

Agora para calcular a inversa, escalonamos a matriz A completamente, junto com a matriz identidade do lado:

L 4 ← L 4 + L 1

L 3 ← L 3 + L 1

L 2 ← L 2 - L 1

L 2 ↔ L 3

L 3 ↔ L 4

L 2 ← L 2 + L 4

L 2 ← 1 2 L 2

L 3 ← 1 2 L 3

L 4 ← - 1 2 L 4

L 1 ← L 1 - L 4

L 1 ← L 1 - L 3

L 1 ← L 1 - L 2

Portanto:

Resposta

É inversível:

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