Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Passo 1

O que temos ai é:

z = f x , y = 49 - x 2 - y 2

x t = 2 sen ⁡ t

y t = 7 cos ⁡ t - 3

⇒ z t = f x t , y t

Então, pelo caso I da Regra da Cadeia, sabemos que

d z d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Então, o que precisamos fazer é calcular cada uma dessas derivadas parciais e depois substituir no ponto ( 2 , - 3 ) .

Passo 2

Vamos começar calcular o t 0 correspondente x = 2 e y = - 3 :

x t = 2 sen ⁡ t ⇒ x t 0 = 2 sen ⁡ t 0 = 2 ⇒ sen ⁡ t 0 = 1

  y t = 7 cos ⁡ t - 3 ⇒ y t 0 = 7 cos ⁡ t 0 - 3 = - 3   ⇒ cos ⁡ t 0 = 0

Resolvendo esse sistema temos que

t 0 = π 2

Passo 3

Calcular gradiente da função:

f x , y = 49 - x 2 - y 2

∂ f ∂ x = - 2 x 2 49 - x 2 - y 2

∂ f ∂ y = - 2 y 2 49 - x 2 - y 2

Passo 4

Agora vamos achar as derivadas de x e de y :

x t = 2 sen ⁡ t

d x d t = 2 cos ⁡ t

  y t = 7 cos ⁡ t - 3

d y d t = - 7 sen ⁡ t

Passo 5

Nossa derivada fica então

d z d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

d z d t = - 2 x 2 49 - x 2 - y 2 ⋅ 2 cos ⁡ t + - 2 y 2 49 - x 2 - y 2 ⋅ - 7 sen ⁡ t

Substituindo em x , y = ( 2 , - 3 ) e no t 0 = π 2 correspondente:

d z d t = - 2 . 2 2 49 - 2 2 - ( - 3 ) 2 ⋅ 2 cos ⁡ π 2 + - 2 . ( - 3 ) 2 49 - 2 2 - ( - 3 ) 2 ⋅ - 7 sen ⁡ π 2

d z d t = - 4 2 36 ⋅ 2 . 0 + 6 2 36 ⋅ - 7 . 1

d z d t = - 7 2

Resposta

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s . s e nt , y = t . cos ⁡ s
Calcule ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v usando a regra da cadeia: z = x 2 y , x = u v , y = u ⋅ e v
Calcule d z d t usando a regra da cadeia: z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .