Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Regra da Cadeia

Se

f x ,   y = e x y

g t = c o s ⁡ ( t )

h t = s e n   ( t )

E

F t = f g ( t ) ,   h ( t )

Calcule F ' ( 0 ) .

Passo 1

Clássico de regra da cadeia – 1 parâmetro!

Veja só, temos

f x ,   y = e x y

g t = x ( t ) = c o s ⁡ ( t )

h t = y ( t ) = s e n   ( t )

F t = f x ( t ) ,   y ( t )

Tudo o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais e substituir na fórmula

d F d t = ∂ f ∂ x . d x d t +   ∂ f ∂ y . d y d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mãos à obra no cálculo dessas derivadas parciais!

∂ f ∂ x = e x y . y = y e x y  

∂ f ∂ y = e x y . x = x e x y  

d x d t =   - s e n t

d y d t = c o s ⁡ ( t )

Passo 3

Substituindo tudo:

d F d t = ∂ f ∂ x . d x d t +   ∂ f ∂ y . d y d t

d F d t = y e x y . ( - s e n t ) + x e x y . c o s ⁡ ( t )

d F d t = e x y . ( - y s e n t + x cos ⁡ t )

Passo 4

Agora vamos calcular os valores de   x e y  correspondentes a t = 0 :

x 0 = cos ⁡ 0 = 1

y 0 = s e n   0 = 0

E agora podemos calcular a derivada:

d F ( 0 ) d t = ∂ f ( 1,0 ) ∂ x . d x ( 0 ) d t +   ∂ f ( 1,0 ) ∂ y . d y ( 0 ) d t

F ' 0 = d F ( 0 ) d t = e 1.0 . ( - 0 s e n 0 + 1 cos ⁡ 0 )

F ' 0 = d F ( 0 ) d t = 1 . ( 0 + 1 . 1 )

F ' 0 = 1

Resposta

F ' 0 = 1

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