Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Se o objeto percorrer uma curva γ e sua posição em cada instante t (segundos) é dada por r t = t , t 2 4 , determine sua taxa de variação de temperatura em relação ao tempo quando ele passar pelo ponto Q = 4,4 .

Passo 1

Nessa questão as coordenadas x e y do objeto dependem do tempo t :

x = x t   e     y = y ( t )

Então T = T x t , y t .

A gente quer a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, que nada mais é do que uma derivada. E vamos ter que usar a regra da cadeia:

d T d t = ∂ T ∂ x ∙ d x d t + ∂ T ∂ y ∙ d y d t

Vamos achar essas derivadas todas!

Sem grandes dificuldades, calculamos ∂ T ∂ x = - 4 x e ∂ T ∂ y = - 8 y . Mas ainda falta d x d t e d y d t .

A posição do objeto dada por r t = t , t 2 4 , logo:

r t = x t , y ( t ) = t , t 2 4

x t = t

y t = t 2 4

d x d t = 1

d y d t = t 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos jogar os valores na fórmula! d T d t = ∂ T ∂ x ∙ d x d t + ∂ T ∂ y ∙ d y d t

d T d t = - 4 x ( t ) . 1 - 8 y ( t ) . t 2

d T d t = - 4 t - 8 . t 2 4 ∙ t 2

d T d t = - 4 t - t ³

Ele pediu a taxa no tempo t = 4 então:

d T d t = - 4.4 - 4 3 = - 16 - 64 = - 80 ℃ / s e g

Resposta

d T d t = - 80 ℃ / s e g

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