Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Considere a função dada por z = e y ϕ ( x - y ) , em que ϕ é uma função diferenciável de uma variável real.

  1. Mostre que ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = z .

Passo 1

Pow, se o problema nos pediu para mostrar que aquela expressão é válida, vamos derivar a função com relação a x e y e ver se a soma dá realmente aquele valor, Bora?

AH! Mas qual é o detalhe?!

Temos uma função composta ali, a ϕ , então, não vamos deixar de aplicar a regra da cadeia, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos calcular a primeira derivada parcial

∂ z ∂ x

Como z = e y ϕ ( x - y ) ,

∂ z ∂ x = ∂ e y ϕ x - y ∂ x

Na derivada em relação a x , y é constante logo e y também é, então ele cai fora...

∂ z ∂ x = e y ∂ ϕ x - y ∂ x

Agora aqui é que entra a sacada!

Derivar essa expressão aí com relação à x é derivar primeiro a função de fora, a ϕ , e depois a de dentro com relação à x , certo?

Mas quem é a derivada da de fora?!

Passo 3

Bem, ϕ é uma função de uma única variável.

What????

Pensa assim: x é um número, y ... também, logo x - y é apenas um único número, sacou? Podemos chamar esse número de u : x - y = u , portanto ϕ ( u ) !

Agora ficou mais fácil né?

A derivada do de " f o r a " é a derivada simples da função ϕ com relação a u , ou seja

ϕ ' u

E a derivada do de dentro é ∂ u ∂ x . Basta derivar normalmente:

∂ u ∂ x = ∂ x - y ∂ x = 1

Passo 4

Portanto voltando a regra da cadeia,

∂ z ∂ x = e y ∂ ϕ x - y ∂ x →

∂ z ∂ x = e y ϕ ' u ∙ ∂ u ∂ x   →

∂ z ∂ x = e y ϕ ' u

Percebeu?

Passo 5

Fazendo o mesmo para ∂ z ∂ y ...

∂ z ∂ y = ∂ e y ϕ ( x - y ) ∂ y

Nesse caso, como estamos derivando em relação a y e existe um produto, devemos aplicara regra do produto primeiro

∂ z ∂ y = ∂ e y ∂ y ϕ ( x - y ) + e y ∂ ϕ ( x - y ) ∂ y

A primeira derivada, morre!

∂ z ∂ y = e y ϕ ( x - y ) + e y ∂ ϕ ( x - y ) ∂ y

A última que sobrou, regra da cadeia novamente, ou seja derivada da de fora, vezes a da de dentro...

∂ ϕ ( x - y ) ∂ y = ϕ ' ( u ) ∂ u ∂ y

Como u = x - y

∂ ϕ ( x - y ) ∂ y = ϕ ' ( u ) ( - 1 )

Logo

∂ z ∂ y = e y ϕ x - y - e y ϕ ' ( u )

Passo 6

Bem, já temos as duas derivadas que precisamos, basta averiguar, ou seja, fazer a soma das duas

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y =

e y ϕ ' u + e y ϕ x - y - e y ϕ ' ( u )

Cortando esses dois caras

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = e y ϕ x - y

Como do enunciado z = e y ϕ x - y , concluímos que

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = z     : )

Resposta

  1. Verifica-se pela derivação parcial e regra da cadeia.

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