Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.114, exercício 6a

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C ¹ e

f 1,3 = - 1

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Sabe-se que a curva de equação

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

Está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) . Calcule d z d t ( t 0 ) , onde t 0 é o valor de t no ponto 1,3

Passo 1

Sabemos que a curva σ ( t ) está contida na superfície f x , y , certo? E tem essa cara aqui,

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

Repara que as componentes x e y são independentes. Porém a componente z é dependente de   x e y . Ou seja,

f x , y = z

Desta forma podemos reescrever a nossa equação assim,

f t 2 , 4 t - 1 = z ( t )

Em resumo, para um valor um determinado valor de t , teremos uma coordenada em x e y , e a partir delas teremos o ponto em z .

Separando, temos que

z = f x , y

x t = t 2

y t = 4 t - 1

⇒ z t = f x t , y t

Podemos então usar a regra da cadeia para calcular d z d t ( t ) !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular o t 0 correspondente x = 1 e y = 3 :

x t = t ² ⇒ x t 0 = t 0 ² = 1

  y t = 4 t - 1 ⇒ y t 0 = 4 t 0 - 1 = 3

Resolvendo esse sistema temos que

t 0 = 1

Passo 3

Calcular gradiente da função:

A questão já nos dá o gradiente de f no ponto:

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Passo 4

Definir função vetorial

Como z t depende de x e y , vamos definir σ t = x t ,   y t

Então:

σ t = t 2 , 4 t - 1

Passo 5

Derivar parametrização:

σ ' t = d x d t , d y d t

⇒ σ ' t = 2 t , 4

Passo 6

Calcular derivada em t = 1 :

σ ' t = 2 t , 4

⇒ σ ' 1 = 2.1,4

⇒ σ ' 1 = 2,4

Passo 7

Agora como queremos achar a derivada no ponto é só fazer o produto escalar:

d z d t ( 1 ) = ∇ f ( 1,3 ) ⋅ σ ' 1

⇒ d z d t ( 1 ) = 4 , - 3   ⋅ 2,4

⇒ d z d t ( 1 ) = 4 2 + - 3 4

⇒ d z d t 1 = - 4

Resposta

d z d t 1 = - 4

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