Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Regra da Cadeia

Sejam f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 2,1 ) e r t = 4 t + 2 ,   e 2 t . Sabendo que f x 2,1 = 1  

d d t f r t t = 0 = 0 ,

podemos afirmar que f y ( 2,1 ) vale:

(a) - 1 .

(b) 1 .

(c) - 2 .

(d) 0 .

(e) nada pode se afirmar

Passo 1

O enunciado nos deu um r ( t ) tal que

r t = x t , y t

Ele pediu o ∂ f ∂ y (2,1). Mas repare que com t = 0 temos

r t = r 0 = 4.0 + 2 , e 2.0 = ( 2,1 )

Ou seja

∂ f ∂ y t = 0 = ∂ f ∂ y 2,1

Ótimo!

Enfim, pela regra da cadeia, temos

  d d t f r t = ∂ f ∂ x ∙ d x d t + ∂ f ∂ y ∙ d y d t

E ele deu

d d t f r t t = 0 = 0

Ou seja, com t = 0 :

∂ f ∂ x ∙ d x d t + ∂ f ∂ y ∙ d y d t = 0

Vamos isolar ∂ f ∂ y , que é o que ele pediu:

⇒     ∂ f ∂ y ∙ d y d t = - ∂ f ∂ x ∙ d x d t

⇒     ∂ f ∂ y = - ∂ f ∂ x ∙ d x d t d y d t

Pronto! Então temos que achar essas 3 derivadas da direita!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como já vimos, com t = 0 temos

r t = ( 2,1 )

Ou seja

∂ f ∂ x t = 0 = ∂ f ∂ x 2,1

E ele já nos deu no enunciado f x 2,1 = 1 :)

Passo 3

Show! Agora vamos achar d x d t e d y d t !

r t = 4 t + 2 ,   e 2 t ⇒   x t = 4 t + 2 y t = e 2 t

Então

d x d t = 4.1 + 0 = 4

e

d y d t = 2 e 2 t

E com t = 0 :

x ' 0 = 4

y ' 0 = 2 . e 0 = 2

Passo 4

Excelente! Agora basta jogar tudo que achamos na fórmula:

    ∂ f ∂ y = - ∂ f ∂ x ∙ d x d t d y d t

⇒ f y 2,1 = - f x 2,1 . x ' 0 y ' 0

⇒ f y 2,1 = - 1 . 4 2 = - 2

Resposta

Alternativa (c)

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