Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UERJ, Cálculo 2, Professora Naomi, Lista 14, questão 4

A temperatura num ponto x , y é T ( x , y ) , medida em graus Celsius. Um inseto resteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x = 1 + t   ,   y = 2 + t 3   , onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz T x 2,3 =   4   ,   T y 2,3 =   3 . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?

Passo 1

Entendimento:

Temos uma função T ( x , y ) que não sabemos qual é, mas conhecemos as funções x ( t ) e y ( t ) . O quão rápido a temperatura aumenta depois de 3 segundos é o mesmo que perguntar qual é a derivada de T x , y em relação ao tempo quando t = 3 , e para isso, basta usar a regra da cadeia!

A derivada parcial δ T x , y δ t é dada por

δ T x , y δ t = δ T x , y δ x . d x d t   +   δ T x , y δ y . d y d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Comecemos encontrando as derivadas em relação ao tempo para x t e y ( t ) quando t = 3

Com x = 1 + t ...

d x d t = 1 2 1 + t

Quando t = 3 ...

1 2 1 + 3 = 1 4

Com y = 2 + t 3 ...

d y d t = 1 3

Passo 3

Agora, pelo enunciado, podemos perceber que em T x 2,3 e T y 2,3 ocorre de t   ser 3! Claro, sem essa “coincidência”seria impossível fazer a questão! Para conferir que isso é verdade, basta substituir os valores de x   e y por 2 e 3 respectivamente em suas equações.

x = 1 + t →   2 = 1 + t → t = 3

y = 2 + t 3 →   3 = 2 + t 3 → t = 3

Passo 4

Agora, basta substituir os valores que temos na equação do Passo 1

δ T x , y δ t = δ T x , y δ x . d x d t   +   δ T x , y δ y . d y d t

δ T x , y δ t = 4 . 1 4     +   3 . 1 3 = 2

Resposta

δ T x , y δ t = 2

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